Wektory liniowo zależne - dla jakiego parametru ?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ŚwIeRsZcZ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 232
Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 1 raz

Wektory liniowo zależne - dla jakiego parametru ?

Post autor: ŚwIeRsZcZ » 4 sty 2009, o 20:45

Czy można dobrać parametr r tak, aby wektory \(\displaystyle{ \vec{a_{1}}=(1,r-2,1) , \vec{a_{2}}=(r,1,-1)}\) były liniowo zależne ?
Znajdź wektor \(\displaystyle{ \vec{a_{3}}}\) taki że układ \(\displaystyle{ \vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)

Do tej drugiej części to poprostu muszę sprawdzić czy np. dowolnie wzięty wektor \(\displaystyle{ \vec{a_{3}}}\) uzupełnia bazę ? (liczę rząd, wyznacznik i jeśli \(\displaystyle{ \neq 0}\) to wektor uzupełnia zbiór do bazy . Zgadza się czy jakoś inną metodą trzeba do tego podejść?

Za pomoc w rozwiązaniu , z góry dziękuję .

Madame
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 9 sty 2008, o 10:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 7 razy

Wektory liniowo zależne - dla jakiego parametru ?

Post autor: Madame » 4 sty 2009, o 21:17

Wydaje mi się, że aby te wektory były liniowo zależne \(\displaystyle{ r=-1}\)

Sprawdziłam to w ten sposób:
\(\displaystyle{ a(1,r-2,1) + b(r,1,-1)=(0,0,0)}\)
wyszło, że \(\displaystyle{ a=b}\) i \(\displaystyle{ a(1+r)=0}\)
czyli, żeby a mogło być różne od 0, to \(\displaystyle{ r=-1}\)


1 r-2 1

r 1 -1

a b c

-to ma być macierz, jeżeli ktoś byłyby tak łaskawy niech mnie oświeci jak zrobić "porządny" zapis macierzy;

Następnie trzeba obliczyć wyznacznik tej powyższej macierzy i wybrać takie, a,b,c, żeby był on różny od zera.

Czyli jest takie równanie \(\displaystyle{ -cr ^{2} + (b-a-2c)+b-a+c 0}\)

Nie wiem, myślę, że to będzie dobrze. Wtedy trzebna dobrać takie a,b,c, żeby spełniły powyższe założenie.

ŚwIeRsZcZ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 232
Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 1 raz

Wektory liniowo zależne - dla jakiego parametru ?

Post autor: ŚwIeRsZcZ » 7 sty 2009, o 17:48

Madame pisze:Wydaje mi się, że aby te wektory były liniowo zależne \(\displaystyle{ r=-1}\)

Sprawdziłam to w ten sposób:
\(\displaystyle{ a(1,r-2,1) + b(r,1,-1)=(0,0,0)}\)
wyszło, że \(\displaystyle{ a=b}\) i \(\displaystyle{ a(1+r)=0}\)
czyli, żeby a mogło być różne od 0, to \(\displaystyle{ r=-1}\)
A nie powinno być że \(\displaystyle{ r -1}\) ??? *wtedy według mnie \(\displaystyle{ a}\) będzie \(\displaystyle{ \neq 0}\)

PS. Macierze zapisuje się w Latex-ie o tak (przykład macierzy 3x3):

Kod: Zaznacz cały

[tex]egin{bmatrix} a11&a12&a13\a21&a22&a23\a31&a32&a33end{bmatrix}[/tex]

JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Wektory liniowo zależne - dla jakiego parametru ?

Post autor: JankoS » 7 sty 2009, o 23:28

Madame pisze:Wydaje mi się, że aby te wektory były liniowo zależne \(\displaystyle{ r=-1}\)

Sprawdziłam to w ten sposób:
\(\displaystyle{ a(1,r-2,1) + b(r,1,-1)=(0,0,0)}\)
wyszło, że \(\displaystyle{ a=b}\) .
Tutaj widać, że a = -b. Zeby nie przeciągać. Te wektory nie mogą być liniowo zależne, bo nie są równoległe.

ODPOWIEDZ