Pokaż że wektory tworzą bazę ?

[ŚwIeRsZcZ]

Witam ! Mam zadanie w którym nie jestem pewien metody rozwiązania:

zad. Pokaż że następujące wektory tworzą bazę \(\displaystyle{ R^{n}}\). Wyznacz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) w tej bazie :

\(\displaystyle{ a_{1}=(5,-1,-1) , a_{2}=(-2,1,1) , a_{3}=(2,-1,0)}\) ; \(\displaystyle{ \vec{a}=(3,-3,-2) \mathbb{R}^{3}}\)

co do 1 części zadania (pokazać że wektory tworzą bazę R^3) , to rozumiem że muszę , pokazać że te 3 wektory są liniowo niezależne (zapisuje macierz, uproszczam met. operacji na wierszach i sprawdzam rząd macierzy) , a co do wyznaczenia wspołrzednych wektora a w tej bazie to tym sposobem :

\(\displaystyle{ (3,-3,-2)=a(5,-1,-1)+b(-2,1,1)+c(2,-1,0)}\)

mam rację ??

Za pomoc dziękuję

[kuch2r]

tak, zgadza się

[NPS]

A nie powinno się jeszcze sprawdzić, czy te trzy wektory generują całą przestrzeń \(\displaystyle{ R^3}\)?

[kuch2r]

a co rozumiesz przez stwierdzenie ze wektory tworza baze ??

[NPS]

To jest pytanie do mnie?

[kuch2r]

tak do Ciebie.

[NPS]

Noo, że {\(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3}\)} są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) w tym wypadku. Mam przed sobą wykład z mojej uczelni i tu jest taka definicja:
Zbiór A nazywamy bazą przestrzeni wektorowej jeżeli:
1) LinA = X (każdy wektor z X daje się przedstawić jako kombinacja liniowa
wektorów z A)
2) wektory \(\displaystyle{ x_1, x_2, ... , x_n}\) są liniowo niezależne.

[ŚwIeRsZcZ]

No to później z rzędu odczytasz chyba czy wszystkie wektory są niezależne . Jeśli mam 3 wektory i rząd po przekształceniu wyjdzie również 3 to wniosek jest taki że wszystkie te wekt. w bazie są niezależne , Mam rację ?

[NPS]

Tak, ale ja mówię o drugim warunku - że muszą generować całą przestrzeń.

[kuch2r]

Niech:
\(\displaystyle{ \mathcal{B}=\{(5,-1,-1) ,(-2,1,1) ,(2,-1,0)\}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jest baza przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\), wówczas
\(\displaystyle{ \vec{x}\in \mathbb{R}^{3}\quad !\exists a,b,c \mathbb{R}:\quad a(5,-1,-1) + b(-2,1,1) +c(2,-1,0)=\vec{x}\in\mathbb{R}^{3}}\)
Zauwazmy, ze
\(\displaystyle{ a(5,-1,-1) + b(-2,1,1) +c(2,-1,0)= (a,b,c)\cdot ft[\begin{array}{ccc} 5&-1&-1\\-2&1&1\\2&-1&0\end{array}\right]=\vec{x}}\)
Oznaczmy
\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left[\begin{array}{ccc} 5&-1&-1\\-2&1&1\\2&-1&0\end{array}\right]}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ \det{A}\neq 0 \iff \mathcal{A}^{-1}\cdot {A}=I}\)
Ustalmy, zatem dowolne \(\displaystyle{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{3}}\).
Stad
\(\displaystyle{ (a,b,c)\cdot ft[\begin{array}{ccc} 5&-1&-1\\-2&1&1\\2&-1&0\end{array}\right]=\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)}\)
Dalej
\(\displaystyle{ (a,b,c)=(x_1,x_2,x_3)\cdot ft[\begin{array}{ccc} 5&-1&-1\\-2&1&1\\2&-1&0\end{array}\right]^{-1}}\)
A co do tego to juz chyba nie ma watpliwosci, ze jest to rozwiazanie jedyne i przedstawione w sposob jednoznaczny.