Zbadaj z definicji liniową niezależność

[ŚwIeRsZcZ]

Niech wektory u, v, w, będą liniowo niezależne w V. Zbadaj z definicji liniową niezależność.

a)

\(\displaystyle{ \lbrace u+v , v+w , u+w \rbrace}\)

b)

\(\displaystyle{ \lbrace u-2v, v-2w , 3w \rbrace}\)

Za pomoc z góry dziękuję .

[Qń]

Ad a)
Załóżmy, że dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest:
\(\displaystyle{ a(u+v) +b(v+w) +c (u+w) = 0}\)
Ta równość to tyle samo co:
\(\displaystyle{ (a+c)u+(a+b)v+ (b+c)w=0}\)
to zaś z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ u,v,w}\) oznacza, że:
\(\displaystyle{ a+c=a+b=b+c=0}\)
czyli \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)
Stąd zaś już wniosek, że wyjściowe wektory są liniowo niezależne (bo jak pokazaliśmy, ich liniowa kombinacja daje wektor zerowy tylko, gdy wszystkie współczynniki kombinacji są zerami).

Drugi podpunkt analogicznie.

Q.

[ŚwIeRsZcZ]

analogicznie jednak mam problemy

\(\displaystyle{ a(u-2v)+b(v-2w)+c(3w)=0}\)

\(\displaystyle{ (a+b)v+(b+c)w+(a+c)=0}\) ?? chyba nie tak...

[Qń]

Nie wiem skąd wziąłeś tę drugą równość - trzeba przecież przekształcić tę pierwszą:
\(\displaystyle{ au+(b-2a)v+(3c-2b)w=0}\)

Q.