Niech wektory u, v, w, będą liniowo niezależne w V. Zbadaj z definicji liniową niezależność.
a)
\(\displaystyle{ \lbrace u+v , v+w , u+w \rbrace}\)
b)
\(\displaystyle{ \lbrace u-2v, v-2w , 3w \rbrace}\)
Za pomoc z góry dziękuję .
Zbadaj z definicji liniową niezależność
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Zbadaj z definicji liniową niezależność
Ad a)
Załóżmy, że dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest:
\(\displaystyle{ a(u+v) +b(v+w) +c (u+w) = 0}\)
Ta równość to tyle samo co:
\(\displaystyle{ (a+c)u+(a+b)v+ (b+c)w=0}\)
to zaś z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ u,v,w}\) oznacza, że:
\(\displaystyle{ a+c=a+b=b+c=0}\)
czyli \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)
Stąd zaś już wniosek, że wyjściowe wektory są liniowo niezależne (bo jak pokazaliśmy, ich liniowa kombinacja daje wektor zerowy tylko, gdy wszystkie współczynniki kombinacji są zerami).
Drugi podpunkt analogicznie.
Q.
Załóżmy, że dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest:
\(\displaystyle{ a(u+v) +b(v+w) +c (u+w) = 0}\)
Ta równość to tyle samo co:
\(\displaystyle{ (a+c)u+(a+b)v+ (b+c)w=0}\)
to zaś z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ u,v,w}\) oznacza, że:
\(\displaystyle{ a+c=a+b=b+c=0}\)
czyli \(\displaystyle{ a=b=c=0}\)
Stąd zaś już wniosek, że wyjściowe wektory są liniowo niezależne (bo jak pokazaliśmy, ich liniowa kombinacja daje wektor zerowy tylko, gdy wszystkie współczynniki kombinacji są zerami).
Drugi podpunkt analogicznie.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 232
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 16:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 1 raz
Zbadaj z definicji liniową niezależność
analogicznie jednak mam problemy
\(\displaystyle{ a(u-2v)+b(v-2w)+c(3w)=0}\)
\(\displaystyle{ (a+b)v+(b+c)w+(a+c)=0}\) ?? chyba nie tak...
\(\displaystyle{ a(u-2v)+b(v-2w)+c(3w)=0}\)
\(\displaystyle{ (a+b)v+(b+c)w+(a+c)=0}\) ?? chyba nie tak...
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Zbadaj z definicji liniową niezależność
Nie wiem skąd wziąłeś tę drugą równość - trzeba przecież przekształcić tę pierwszą:
\(\displaystyle{ au+(b-2a)v+(3c-2b)w=0}\)
Q.
\(\displaystyle{ au+(b-2a)v+(3c-2b)w=0}\)
Q.