Wyznacz współrzędne wek. w bazie przestrzeni ?

[ŚwIeRsZcZ]

Witam ! Mam takie zadanie (nie mam pewności czy jest to pełna jego treść) :

Wyznacz współrzędne:

wektory \(\displaystyle{ \vec{v}= (1, 1, -2, 1)}\)
w bazie przestrzeni \(\displaystyle{ S=\lbrace (x,y,z,t) R^{4} : 2x-y = z+3t \rbrace}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Szemek]

mój pomysł na rozwiązanie

\(\displaystyle{ 2x-y=z+3t \\
z=2x-y-3t \\
\begin{cases} x=\alpha \\ y=\beta \\ z=2\alpha - \beta - 3\gamma \\ t=\gamma \end{cases}, , \beta, \gamma \mathbb{R}}\)

Przestrzeń:
\(\displaystyle{ S=\{\vec{s}=(\alpha, \beta, 2\alpha - \beta - 3\gamma, \gamma) \} = \\ = \{ \vec{s} = (1,0,2,0) + \beta (0,1,-1,0) + \gamma (0,0,-3,1) \}}\)

Kandydaci na bazę.
\(\displaystyle{ (1,0,2,0), (0,1,-1,0), (0,0,-3,1)}\)
Wektory generują przestrzeń i są liniowo niezależne.

Baza:
\(\displaystyle{ B=( \vec{e_1}=(1,0,2,0), \vec{e_2}=(0,1,-1,0), \vec{e_3}=(1,1,-3,1))}\)

\(\displaystyle{ (1, 1, -2, 1) = a(1,0,2,0)+b(0,1,-1,0)+c(0,0,-3,1) \\
(1, 1, -2, 1) = (a,b,2a-b-3c,c) \\
\begin{cases} a=1 \\ b=1 \\ c=1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = (1, 1, -2, 1) = \boxed{ [1,1,1]_B }}\) współrzędne wektora w bazie B