Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
-
- Użytkownik
- Posty: 278
- Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
Mam taki układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y+z=b\\5x-8y+9z=3\\2x+y+az=-1\end{array}}\)
Chciałbym przeprowadzić dyskusję jak rozwiązać po kolei to zadanie, aby było dobrze.
Otóż pierwsze co zrobiłem to doprowadziłem macierz do postaci schodkowej.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-3&1-a&|&b+1\\0&1&\frac{4+5a}{7}&|&\frac{-5b-2}{7}\\0&0&1&|&\frac{3b-1}{-2a-6}\end{array}\right]}\)
Teraz stoję w miejscu, ponieważ nie wiem jak rozpisać warunki (dla jakich a i b ile jest rozwiązań) i skąd się wzięły.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y+z=b\\5x-8y+9z=3\\2x+y+az=-1\end{array}}\)
Chciałbym przeprowadzić dyskusję jak rozwiązać po kolei to zadanie, aby było dobrze.
Otóż pierwsze co zrobiłem to doprowadziłem macierz do postaci schodkowej.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-3&1-a&|&b+1\\0&1&\frac{4+5a}{7}&|&\frac{-5b-2}{7}\\0&0&1&|&\frac{3b-1}{-2a-6}\end{array}\right]}\)
Teraz stoję w miejscu, ponieważ nie wiem jak rozpisać warunki (dla jakich a i b ile jest rozwiązań) i skąd się wzięły.
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
spojrz się na ostatni wiersz. Jesli wyrazenie : \(\displaystyle{ \frac{3b-1}{-2a-6}}\) jest rozne od zera to nasz uklad jest sprzeczny . Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{3b-1}{-2a-6}=0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ 3b-1=0 i -2a-6 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ b= \frac{1}{3} i a -3}\) dla takich parametrow uklad ma nieskonczenie wiele rozwiazan:D
jesli \(\displaystyle{ b\neq \frac{1}{3}}\) to uklad jest sprzeczny. Pozostaje nam zobaczyc jak sie zachowuje ten uklad dla a rownego -3. Wtedy kiedy dzieliles ostatni wiersz przez -2a-6 podstaw za a -3 i zobacz jak wtedy ten uklad wyglada.
\(\displaystyle{ \frac{3b-1}{-2a-6}=0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ 3b-1=0 i -2a-6 0}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ b= \frac{1}{3} i a -3}\) dla takich parametrow uklad ma nieskonczenie wiele rozwiazan:D
jesli \(\displaystyle{ b\neq \frac{1}{3}}\) to uklad jest sprzeczny. Pozostaje nam zobaczyc jak sie zachowuje ten uklad dla a rownego -3. Wtedy kiedy dzieliles ostatni wiersz przez -2a-6 podstaw za a -3 i zobacz jak wtedy ten uklad wyglada.
-
- Użytkownik
- Posty: 278
- Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
A dlaczego układ ma być sprzeczny dla \(\displaystyle{ \frac{3b-1}{-2a-6} 0}\)? Przecież może to być równe zero i nic się złego nie dzieje, równanie dalej jest rozwiązywalne. Czy jestem w błędzie?
Ostatnio zmieniony 2 sty 2009, o 12:23 przez dawido000, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 22 lis 2008, o 18:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 85 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
Zamiast doprowadzać do postaci schodkowej, możesz policzyć wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3&-2&1\\5&-8&9\\2&1&a\end{array}\right]}\)
To jest tzn. wyznacznik główny. Układ będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie, kiedy Det(A) będzie różny od 0. A przypadek, w którym Det(A) = 0 musisz rozpatrzyć niestety oddzielnie.
[ Dodano: 2 Stycznia 2009, 12:26 ]
|A| = -24a + 5 - 36 + 16 - 27 + 10a = -14a - 42
Czyli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla
-14a - 42 != 0
a != -3
I jeszcze trzeba rozpatrzyć przypadek a = -3.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3&-2&1\\5&-8&9\\2&1&a\end{array}\right]}\)
To jest tzn. wyznacznik główny. Układ będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie, kiedy Det(A) będzie różny od 0. A przypadek, w którym Det(A) = 0 musisz rozpatrzyć niestety oddzielnie.
[ Dodano: 2 Stycznia 2009, 12:26 ]
|A| = -24a + 5 - 36 + 16 - 27 + 10a = -14a - 42
Czyli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla
-14a - 42 != 0
a != -3
I jeszcze trzeba rozpatrzyć przypadek a = -3.
Ostatnio zmieniony 2 sty 2009, o 12:37 przez Goter, łącznie zmieniany 1 raz.
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
to tez jest sposob:D wazne ze jest dobrze, nie?:D tylko z postaci schodkowej opd razu odczytasz rozwiazania jesli uklad jest nieoznaczony, natomiast jak masz tylko wyznacznik to musisz sprowadzic macierz do postaci wierszowo zredukowanej:P
[ Dodano: 2 Stycznia 2009, 12:36 ]
liczyc 4 wyznaczniki? nie wiem czy się oplaca...a jakbys mial macierz 4 na 4 to co wtedy?:D
[ Dodano: 2 Stycznia 2009, 12:36 ]
liczyc 4 wyznaczniki? nie wiem czy się oplaca...a jakbys mial macierz 4 na 4 to co wtedy?:D
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 22 lis 2008, o 18:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 85 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
No cóż, to wtedy może bym zastosował inny sposób. Ale tutaj te 4 wyznaczniki i tak łatwiej wyznaczyć niż się bawić z takimi ułamkami typu:
\(\displaystyle{ \frac{3b-1}{-2a-6}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3b-1}{-2a-6}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 278
- Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
Więc sposób Cramera opłaca się dla małych macierzy. Przypadek z a = -3 rozpatruje się przez podstawienie do macierzy, a potem wyznaczenie zmiennych. No i byłoby po zadaniu.
Chciałbym jeszcze przedyskutować ten pierwszy sposób. Odwołuje do mojego postu z godziny 12:18.
Chciałbym jeszcze przedyskutować ten pierwszy sposób. Odwołuje do mojego postu z godziny 12:18.
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 22 lis 2008, o 18:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 85 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
dawido000:
Moim zdaniem dla układu z 3 niewiadomymi opłaca się jeszcze ten sposób z wyznacznikami, dalej już nie, to fakt ^^
a co do tego posta, to moim zdaniem masz rację
Moim zdaniem dla układu z 3 niewiadomymi opłaca się jeszcze ten sposób z wyznacznikami, dalej już nie, to fakt ^^
a co do tego posta, to moim zdaniem masz rację
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
ano masz rację:D przywidzialy mi sie tam 3 zera w trzecim wierszu:D Zatem przychylam się do rozwiazania Goter'a:D
-
- Użytkownik
- Posty: 278
- Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
No dobra wziąłem się za ten przykład. Obliczyłem wyznacznik (-14a-42), czyli układ dla a != -3 ma jedno rozwiązanie, a znaleźć ilość rozwiązań dla a=-3. Zauważmy, że jest jeszcze parametr b. Jak go w to wplątać?
-
- Użytkownik
- Posty: 293
- Rejestracja: 22 lis 2008, o 18:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 85 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla a=-3, i to w ogóle nie zależy od b.
Czyli możesz zapisać, że jedno rozwiązanie dla
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=-3\\
b R\\
\end{cases}}\)
Czyli możesz zapisać, że jedno rozwiązanie dla
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=-3\\
b R\\
\end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 278
- Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Dyskusja rozwiązalności w zależności od parametrów a i b.
A kiedy układ jest sprzeczny, bo ja w notatkach mam zapisane, że dla a=-3 i b!=1/3 układ ten jest sprzeczny... dlaczego?