Witam.
Mam mały problem z takim zadaniem :
Wykaż, że macierz A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-3&3\end{array}\right]}\) jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ x ^{2} -5x + 3I}\)
zupełnie nie wiem, jak z tym ruszyć
Macierz, miejsce zerowe wielomianu
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Macierz, miejsce zerowe wielomianu
Należy wykazać, że \(\displaystyle{ x=A}\) jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ x^2-5x+3I}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną macierzową, tzn. że zachodzi równość
Mamy
\(\displaystyle{ A^2-5A+3I=0}\),
gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest oczywiście macierzą jednostkową a \(\displaystyle{ 0}\) - macierz zerową.Mamy
\(\displaystyle{ A^2-5A+3I=AA-5A+3I=
ft[\begin{array}{cc}7&-5\\-15&12\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{cc}2&-1\\-3&3\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7-5\cdot 2+3\cdot 1&-5-5\cdot(-1)+3\cdot 0\\-15-5\cdot(-3)+3\cdot 0&12-5\cdot 3+3\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]=0}\),
co należało pokazać.ft[\begin{array}{cc}7&-5\\-15&12\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{cc}2&-1\\-3&3\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7-5\cdot 2+3\cdot 1&-5-5\cdot(-1)+3\cdot 0\\-15-5\cdot(-3)+3\cdot 0&12-5\cdot 3+3\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]=0}\),