Zadanie z wektorami

[farianek]

Wykaż, że jeśli wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}}\) mają wspólny początek, a ich końce leżą na jednej płaszczyźnie to \(\displaystyle{ \vec{d}= \vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c}, gdzie}\) \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=1}\)

Doszedłem do tego:



\(\displaystyle{ \vec{b}=\vec{a}+\vec{p}}\)
\(\displaystyle{ \vec{c}= \vec{a}+\vec{q}}\)
\(\displaystyle{ \vec{d}=\vec{a}+\vec{r}}\)
\(\displaystyle{ \vec{p} \parallel \vec{q} \parallel \vec{r} \vec{p} = g*\vec{q}, \vec{r}=h*\vec{q}, \vec{p}=i*\vec{r}}\)

Nie wiem jak to teraz przekształcić. G,h,i w rzeczywistości to będą alfa, beta, gamma, ale nie jak je popodstawiać, aby wyszło. Próbowałem na wiele sposobów... To samo zadanie ale dla 3 wektorów zrobiłem w sposób jak u góry. Hepl..

[Qń]

https://matematyka.pl/62703.htm

Q.

[farianek]

Ad 1.
Wektory leżą w jednej płaszczyźnie (dlaczego?). Oznacza to, że są liniowo zależne, można więc dobrać liczby , tak, by:

i bez straty ogólności można przyjąć, że (dlaczego?). Stąd od razu wynika teza.

Ale czy wystarczy, że można dobrać alfa beta i gamma tak, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=1}\) To jest wystarczający dowód? Napisałeś, że można dobrać alfa beta i gamma tak aby był spełniony warunek , a z treści zadania wynika, że zawsze ta suma \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=1}\) ma sie równać zero....

[Qń]

suma \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=1}\) ma sie równać zero....

Ke? Suma równa jeden ma się równać zero? :>

Przeczytaj jeszcze raz uważnie treść zadania, a potem przeczytaj uważnie szkic rozwiązania.
Zwracając przy tym uwagę, że:
\(\displaystyle{ \alpha (\vec{A}-\vec{D}) + \beta (\vec{B}-\vec{D}) + \gamma ( \vec{C}-\vec{D} ) = \vec{0}}\)
to to samo co:
\(\displaystyle{ \alpha \vec{A} + \beta \vec{B} + \gamma \vec{C} = (\alpha + \beta + \gamma ) \vec{D}}\)

Q.

[farianek]

Ok OK OK
teraz widze, dzięki wielke