odległość skośnych

[pat_asdf_pat]

znaleźć odległość prostych skośnych
1.:
\(\displaystyle{ x = 1 + p \\
y = 1 - p \\
z = 1 -3p}\)

2.:
\(\displaystyle{ x = 2u \\
y = -2 -u \\
z = 1}\)

Przeniosłem do działu algebra liniowa - na odpowiedzialność Grzegorza t Dasio11

[Grzegorz t]

wektory kierunkowe prostych 1 i 2 mają postać:

pr. 1 \(\displaystyle{ \vec{u}=(1, -1, -3)}\)
pr. 2 \(\displaystyle{ \vec{v}=(2, -1, 0)}\)

wspólny wektor normalny płaszczyzn równoległych zawierających odpowiednio te dwie proste jest prostopadły do obu wektorów i możemy przyjąć, że:

\(\displaystyle{ \vec{w}= \vec{u} \vec{v}=(1, -1, -3) (2, -1, 0)=(3, 3, 6)}\)- iloczyn wektorowy

musimy teraz znależć równania płaszczyzn, które zawierają te dwie proste, aby to zrobić trzeba znależć po jednym punkcie, które należą do każdej z prostych.Poniżej napiszę równania kierunkowe prostych:

\(\displaystyle{ \begin{cases}pr. 1 \frac{x-1}{-1}= \frac{y-1}{-1}= \frac{z-1}{-3} \\pr. 2 \frac{x-0}{2}= \frac{y+2}{1}= \frac{z-1}{0} \end{cases}}\)

zatem do prostej 1 należy np. punkt \(\displaystyle{ P( 0, 2, 4)}\), a do prostej 2 np. punkt \(\displaystyle{ K(0, -2, 1)}\)

Równania płaszczyzn zawierających te dwie proste:

\(\displaystyle{ \pi{_1}: 3(x-0) + 3(y-2) + 6(z-4) = 0 3x+3y+6z-30=0}\)
\(\displaystyle{ \pi_{2}: 3(x-0) + 3(y+2) + 6(z-1) = 0 3x+3y+6z=0}\)

Odległość prostych skośnych jest odległością tych dwóch płaszczyzn, zatem

\(\displaystyle{ d= \frac{ ft| D_1-D_2\right| }{ \sqrt{A^2+B^2+C^2} }= \frac{ ft| -30\right| }{ \sqrt{3^3+3^2+6^2} } = \frac{5 \sqrt{6} }{3}}\) o ile gdzieś nie machłem się ze znakami, ale metoda taka właśnie jest.

[ Dodano: 1 Stycznia 2009, 13:24 ]
zadanie z algebry liniowej - dział geometrii analitycznej w przestrzeni, a nie liczby zespolone

[pat_asdf_pat]

dziękuję bardzo:)o wiele bardziej jest to jaśniejsze, mam tylko jedno pytanie czemu do prostej pierwszej nalezy punkt 0,2,4?
moze należec np 1 1 1 ?

[virusek1991]

No właśnie mam to samo pytanie prosze o wyjasnienie:)

[olgierdb]

To taka celowa sztuczka... Dla p=0 ten punkt miałby wspomniane współrzędne ale dla p=-1 ma ciekawsze bo dające przeciwne współczynniki dzięki czemu liczenie stanowczo się upraszcza