postać krawędziowa

[pat_asdf_pat]

prostą l:
x=3
y=2-2t
z=t
zapisac w postaci krawędziowej

[Crizz]

Jedną z płaszczyzn może być oczywiście płaszczyzna \(\displaystyle{ x=3}\).

Prosta i punkt nie leżący na niej wyznaczają płaszczyznę. Weźmy dowolne dwa punkty tej prostej, np. \(\displaystyle{ P=(3,0,1),Q=(3,2,0)}\) i jakiś punkt nie leżący na tej prostej, którego współrzędna x jest różna od 3, np. \(\displaystyle{ R=(0,1,1)}\). Wystarczy teraz znaleźć równanie płaszczyzny PQR. Niech jej równaniem będzie: \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3A+C+D=0 \\ 3A+2B+D=0 \\ B+C+D=0 \end{cases}}\)

Szukamy przykładowego rozwiązania tego układu, przyjmijmy np. że \(\displaystyle{ A=1}\), wówczas:
\(\displaystyle{ \begin{cases} C+D=-3 \\ 2B+D=-3 \\ B+C+D=0 \end{cases}}\)

Z pierwszego i trzeciego równania mamy \(\displaystyle{ B=3}\), czyli \(\displaystyle{ D=-9,C=6}\). Ostatecznie, szukane równanie ma postać \(\displaystyle{ x+3y+6z-9=0}\).

Równanie prostej w postaci krawędziowej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+3y+6z-9=0 \\ x=3 \end{cases}}\)

[ Dodano: 30 Grudnia 2008, 10:05 ]
Teraz widzę, że można to zadanie rozwiązać szybciej
Skoro \(\displaystyle{ z=t,y=2-2t}\), to \(\displaystyle{ y=2-2z}\). Ponadto \(\displaystyle{ x=3}\), czyli równanie prostej w postaci krawędziowej:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3 \\ y=2-2z \end{cases}}\)