W podanym układzie równań określić (nie rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz liczby parametrów:
x-y+2z-3t=2
2x+y-z+4t=1
4x-y+3z-2t=5
Chodzi mi o istotę zadania, kiedy układ nie ma rozwiązań, kiedy ma jedno, a kiedy nieskończenie wiele. Jak to się liczy? Za wszystko z góry dzięki. Chciałbym krok po kroku aby wszystko w końcu dobrze zrozumieć.
Układ równań. Określenie liczby rozwiązań.
-
- Użytkownik
- Posty: 278
- Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
Układ równań. Określenie liczby rozwiązań.
ok rozumiem, ale wciąż nie wychodzi mi liczba parametrów. Skoro rzędy macierzy głównej i rozszerzonej to 3 i 3, a liczba niewiadomych to 4. To liczba parametrów powinna wynosić 4-3=1 (a w odpowiedziach jest 2)
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Układ równań. Określenie liczby rozwiązań.
Rząd macierzy wynosi 2. Niemożliwe, znalazłeś minor niezerowy stopnia 3?
Spójrz, przekształcę trochę macierz rozszerzoną, mnożąc jej pierwszy wiersz przez -2 i dodając do drugiego, oraz mnożąc jej pierwszy wiersz przez -4 i dodając do trzeciego:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&2&-3&| 2\\2&1&-1&4&| 1\\4&-1&3&-2&| 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-1&2&-3&| 2\\0&3&-5&10&| -3\\0&3&-5&10&| -3\end{bmatrix}}\)
Ponieważ dwa wiersze macierzy są takie same, nie znajdziemy minora zerowego stopnia trzeciego. Możemy doszukiwać się jedynie minora stopnia drugiego,
np.: \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&-1\\0&3\end{vmatrix}=3 0}\)
I właśnie dlatego, że znaleźliśmy minor niezerowy stopnia drugiego, rząd macierzy wynosi 2.
Ilość parametrów: \(\displaystyle{ 4-2=2}\).
Spójrz, przekształcę trochę macierz rozszerzoną, mnożąc jej pierwszy wiersz przez -2 i dodając do drugiego, oraz mnożąc jej pierwszy wiersz przez -4 i dodając do trzeciego:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&2&-3&| 2\\2&1&-1&4&| 1\\4&-1&3&-2&| 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-1&2&-3&| 2\\0&3&-5&10&| -3\\0&3&-5&10&| -3\end{bmatrix}}\)
Ponieważ dwa wiersze macierzy są takie same, nie znajdziemy minora zerowego stopnia trzeciego. Możemy doszukiwać się jedynie minora stopnia drugiego,
np.: \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&-1\\0&3\end{vmatrix}=3 0}\)
I właśnie dlatego, że znaleźliśmy minor niezerowy stopnia drugiego, rząd macierzy wynosi 2.
Ilość parametrów: \(\displaystyle{ 4-2=2}\).