Układ równań. Określenie liczby rozwiązań.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
dawido000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 278
Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Układ równań. Określenie liczby rozwiązań.

Post autor: dawido000 »

W podanym układzie równań określić (nie rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz liczby parametrów:
x-y+2z-3t=2
2x+y-z+4t=1
4x-y+3z-2t=5

Chodzi mi o istotę zadania, kiedy układ nie ma rozwiązań, kiedy ma jedno, a kiedy nieskończenie wiele. Jak to się liczy? Za wszystko z góry dzięki. Chciałbym krok po kroku aby wszystko w końcu dobrze zrozumieć.
miodzio1988

Układ równań. Określenie liczby rozwiązań.

Post autor: miodzio1988 »

... -Capellego

zapoznaj się z tym twierdzeniem.
dawido000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 278
Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Układ równań. Określenie liczby rozwiązań.

Post autor: dawido000 »

ok rozumiem, ale wciąż nie wychodzi mi liczba parametrów. Skoro rzędy macierzy głównej i rozszerzonej to 3 i 3, a liczba niewiadomych to 4. To liczba parametrów powinna wynosić 4-3=1 (a w odpowiedziach jest 2)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

Układ równań. Określenie liczby rozwiązań.

Post autor: mmoonniiaa »

Rząd macierzy wynosi 2. Niemożliwe, znalazłeś minor niezerowy stopnia 3?

Spójrz, przekształcę trochę macierz rozszerzoną, mnożąc jej pierwszy wiersz przez -2 i dodając do drugiego, oraz mnożąc jej pierwszy wiersz przez -4 i dodając do trzeciego:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&2&-3&| 2\\2&1&-1&4&| 1\\4&-1&3&-2&| 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-1&2&-3&| 2\\0&3&-5&10&| -3\\0&3&-5&10&| -3\end{bmatrix}}\)

Ponieważ dwa wiersze macierzy są takie same, nie znajdziemy minora zerowego stopnia trzeciego. Możemy doszukiwać się jedynie minora stopnia drugiego,
np.: \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&-1\\0&3\end{vmatrix}=3 0}\)

I właśnie dlatego, że znaleźliśmy minor niezerowy stopnia drugiego, rząd macierzy wynosi 2.

Ilość parametrów: \(\displaystyle{ 4-2=2}\).
ODPOWIEDZ