Macierz 4x4, wyznacznik, skąd ten "-"

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
nicko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 12 paź 2008, o 13:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy

Macierz 4x4, wyznacznik, skąd ten "-"

Post autor: nicko »

Witam, mam taki malutki problem z wyznacznikami.
Przepiszę przykład z książki.
(wyznaczanie względem 3 kolumny)


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\1&0&0&1\end{array}\right]
=0*(-1)^{1+3}*\begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{bmatrix}
+1*(-1)^{2+3}*\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{bmatrix}
+1*(-1)^{3+3}*\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}
+0*(-1)^{4+3}*\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}
=0-1+1+0=0}\)


Teraz moje pytanie. Skąd bierze się ten minus na końcu.. Mam na myśli to: \(\displaystyle{ 0-1+1+0}\). Analizując inne przykłady zauważyłem, że zawsze pojawia się minus na 2 miejscu. Czy rządzi tym jakaś reguła? W końcu z wzoru wynika, że trzeba dodawać a tu nagle minus wchodzi. Jeżeli to jest jakaś reguła to, co mam zrobić, gdy np. druga macierz jest mnożona przez 0, to, że dam ją na minusie i tak mi nic nie zmieni. W takim razie co, wybieram sobie inną macierz i ją będę minusowa?
A jeżeli mam macierz 5x5? Minusa daję sobie w dowolnie wybranym miejscu.
Odpowiedź na ostatnie pytanie nie jest dla mnie tak ważna jak odpowiedź na pierwszą część.

Może mi to ktoś tak bardzo łopatologicznie wytłumaczyć (Nie używając przy tym zbyt matematycznego języka (uczę się sam tych macierzy w domu na zaliczenie po świętach) ?
miodzio1988

Macierz 4x4, wyznacznik, skąd ten "-"

Post autor: miodzio1988 »

ja mogę koledze wytlumaczyc ale zastanawia mnie jakim cudem kolega doszedl do rownosci: ...=0 - 1+1+0 ? czy to taki skrot myslowy?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Macierz 4x4, wyznacznik, skąd ten "-"

Post autor: »

Przecież skoro \(\displaystyle{ (-1)^{2+3} = -1}\), to tam jest minus i tyle, dlaczego miałby nagle zniknąć?

Q.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Macierz 4x4, wyznacznik, skąd ten "-"

Post autor: Sherlock »

Za daleko szukasz

\(\displaystyle{ 1*(-1)^{2+3}*\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{bmatrix}=1*(-1)*1}\)

minus wynika z tego że \(\displaystyle{ (-1)^5=-1}\)

przy okazji, w obliczeniach liczymy wyznaczniki więc należy zastosować inne nawiasy:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&0&1\\1&0&1\end{array}\right|}\)

Pozdrawiam
nicko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 12 paź 2008, o 13:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 16 razy

Macierz 4x4, wyznacznik, skąd ten "-"

Post autor: nicko »

miodzio1988 pisze: ...jakim cudem kolega doszedl do rownosci: ...=0 - 1+1+0 ? czy to taki skrot myslowy?
Tak, tak – pomiąłem liczenie wyznaczników i od razu przeszedłem do wyniku


Czyli to nie żadna regułka tylko „oczywista oczywistość” – kurcze a ja już doszukiwałem się jakichś tajnych reguł. Właściwie byłem święcie przekonany, że te potęgi nic nie robią tylko są namiarami na poszczególne wiersze i kolumny.

Sherlock pisze:Za daleko szukasz
przy okazji, w obliczeniach liczymy wyznaczniki więc należy zastosować inne nawiasy:
wiem, zorientowałem się, że dałem złe nawiasy dopiero jak już wrzuciłem zadanie. Nie chciałem zmieniać, bo przy moim uwielbieniu do LaTeXa prędzej by zniknął post, lub bym w nim coś pomieszał niż umieściłbym prawidłowo zmienione.

Niemniej jednak dziękuję wszystkim za pomoc..
ODPOWIEDZ