Wykazać , że dla macierzy nieosobliwych zachodzi wzór

[Macius700]

Wykazać , że dla macierzy nieosobliwych zachodzi wzór :

\(\displaystyle{ (A\cdot B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}}\)

Skorzystać z własności grup

[Qń]

Z definicji elementu odwrotnego, elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ X}\) jest takie \(\displaystyle{ Y}\), że \(\displaystyle{ XY=YX=I}\). Z własności natomiast wiemy, że taki element jest tylko jeden. Stąd, żeby sprawdzić, że ten ktoś jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ AB}\) wystarczy sprawdzić w naszym wypadku, że:
\(\displaystyle{ (AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})AB= I}\)
To zaś jest oczywiste, bo mnożenie macierzy jest łączne.

Q.

[Macius700]

Rozumiem , że tutaj korzystamy z własności grupy jakim jest istnienie elemnetu odwrotnego Tak???

Może ktoś mi napisać poprawnie równość , która trzeba udowodnić , bo to co kolega napisał moim zdaniem to prawa i lewa strona jest idetyczna tylko napisana w innej kolejności moim zdaniem powinno to być tak jak poniżej ale nie jestem pewny :

\(\displaystyle{ AB\cdot (A\cdot B)^{-1} = AB\cdot B^{-1} A^{-1}}\)

Nie jestem tego pewny prosze o wyjasnienie mi tego wszytskiego bo nie rozumiem tego
Pozdrawiam

[Qń]

Może ktoś mi napisać poprawnie równość, która trzeba udowodnić

Już jest poprawnie napisana.

A kolejność mnożenia macierzy jest istotna, bo w ogólności \(\displaystyle{ CD DC}\).

Q.

[Macius700]

Z definicji elementu odwrotnego, elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ X}\) jest takie \(\displaystyle{ Y}\), że \(\displaystyle{ XY=YX=I}\). Z własności natomiast wiemy, że taki element jest tylko jeden. Stąd, żeby sprawdzić, że ten ktoś jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ AB}\) wystarczy sprawdzić w naszym wypadku, że:
\(\displaystyle{ (AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})AB= I}\)
To zaś jest oczywiste, bo mnożenie macierzy jest łączne.

Q.

czyli to jest dobrze ?? możesz mi to wytłumaczyć , bo nie rozumiem tego

[Qń]

Ale czego nie rozumiesz? Pojęcia elementu odwrotnego?

Q.

[Macius700]

A nie powinoo być tak :

\(\displaystyle{ (AB)(A^{-1}B^{-1})=(B^{-1}A^{-1})AB= I}\)

przcież mnożenie macierzy nie jest przemienne a w tej równości poczatkowej tak jest

Juz rozumiem to to prostu zapisałes to co wcześniej napisałeś odnosnie elementu odwrotnego

[ Dodano: 2 Stycznia 2009, 13:15 ]
odśiweżam