eliminacja gaussa. Sprawdzcie czy dobrze zrobiłem zadanie.

raf123 · Post autor: **raf123** » 15 gru 2008, o 19:48

Moje pierwsze zadanie z użyciem eliminacji gaussa przy macierzach więc chciałbym wiedzieć czy dobrze je zrobiłęm.

| 1 1 -1 3 | Do drugiego wiersza dodałem wiersz trzeci pomnożony przez 2.
| 4 2 1 1 | ~
|-2 1 -1-2|
| 3 1 3 1|

| 1 1 -1 3 | Do trzeciego wiersza dodałem wiersz pierwszy pomnozony przez 2.
| 0 4 -1 3 | ~
|-2 1 -1-2|
| 3 1 3 1|

| 1 1 -1 3 | Od czwartego wiersza odjełem wiersz pierwszy pomnożony przez 3.
| 0 4 -1 3 | ~
| 0 3 -3 4 |
| 3 1 3 1|

| 1 1 -1 3 |
| 0 4 -1 3 |
| 0 3 -3 4 |
| 0-2 6 -8|

1 * (\(\displaystyle{ -1)^{1+1}}\)
|1 -1 3|
|4 -1-3|
|3 -3 4|

I tą macierz 3x3 wyliczyłem metodą Sarussa (chodziło o obliczenie wyznacznika), można tak?

Ps. czy przy eliminacji gaussa można operować tylko wierszami czy również kolumnami?

Lukasz_C747 · Post autor: **Lukasz_C747** » 15 gru 2008, o 20:40

Masz błąd w pierwszym działaniu i źle rozwinąłeś wyznacznik. Ponadto pisze się "odjąłem" nie "odjełem"

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\4&2&1&1\\-2&1&-1&-2\\3&1&3&1\end{array}\right] ^{W_{2}-4W_{1}}_{W_{3}+2W_{1}}_{W_{4}-3W_{1}} ft[\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\0&-2&5&-11\\0&3&-3&4\\0&-2&6&-8\end{array}\right] ^{W_{3}+W_{2}}_{W_{4}-2W_{2}} ft[\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\0&-2&5&-11\\0&1&2&-7\\0&0&1&3\end{array}\right] ^{W_{2}+2W_{3}} ft[\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\0&0&9&-25\\0&1&2&-7\\0&0&1&3\end{array}\right] ^{W_{2}-9W_{4}} ft[\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\0&0&0&-52\\0&1&2&-7\\0&0&1&3\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\0&1&2&-7\\0&0&1&3\\0&0&0&-52\end{array}\right]\\
ft|\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\4&2&1&1\\-2&1&-1&-2\\3&1&3&1\end{array}\right| = ft|\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\0&1&2&-7\\0&0&1&3\\0&0&0&-52\end{array}\right| = 1*1*1*(-52) = -52}\)

Zamiana wierszy/kolumn w wyznacznikach zmienia znak, ale uczyniliśmy to dwukrotnie, więc mamy równość między wyznacznikami.

raf123 · Post autor: **raf123** » 15 gru 2008, o 22:10

dzięki.

Ale mam pytanie , jeśli otrzymam macierz 3x3 to mogę ją odrazu wyliczyć z sarussa?

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 16 gru 2008, o 11:10

raf123 pisze:dzięki.

Ale mam pytanie , jeśli otrzymam macierz 3x3 to mogę ją odrazu wyliczyć z sarussa?

Tak możesz, a jezeli chodzi o wczesniejsze pytanie dotyczace operacji to przy eleminacji Gaussa wykonujemy operacje wyłącznie na wierszach.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 16 gru 2008, o 11:29

agulka1987 pisze:Tak możesz, a jezeli chodzi o wczesniejsze pytanie dotyczace operacji to przy eleminacji Gaussa wykonujemy operacje wyłącznie na wierszach.

O ile mnie pamięć nie zawodzi, to można i na kolumnach.
Coś o tym pisał Kolega Qń.

raf123 · Post autor: **raf123** » 16 gru 2008, o 12:21

Dziekuje wszystkim za pomoc , przeliczyłem jeszcze raz to i właśnie wyszedł mi wyznacznik = -52.

Jeszcze mam jedno pytanie , jeśli mam wyliczyć rząd macierzy to wyliczam wyznacznik i jesli jest różny od 0 to np. w tym konkretnym przypadku rząd macierzy = 4? tak?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 16 gru 2008, o 13:26

raf123 pisze:Dziekuje wszystkim za pomoc , przeliczyłem jeszcze raz to i właśnie wyszedł mi wyznacznik = -52.

Jeszcze mam jedno pytanie , jeśli mam wyliczyć rząd macierzy to wyliczam wyznacznik i jesli jest różny od 0 to np. w tym konkretnym przypadku rząd macierzy = 4? tak?

W tym wypadku wyznacznika nie trzeba liczyć. Rząd macierzy jest równy liczbie niezerowych wierszy "ostatniej" macierzy.
Jeżeli macierz jest nieosobliwa, to wyznacznik macierzy jest równy - co do wartości bezwzględnej - śladowi "ostatniej" macierzy.

raf123 · Post autor: **raf123** » 17 gru 2008, o 20:28

JankoS

Czyli w tym przypadku
a) 2 2 2
1 1 1
4 4 4

Rząd jest równy 3 ? i nie trzeba wyznaczać wyznacznika?

b) 2 1 3 6
1 0 1 2
3 1-4 8

W tym wypadku należy wyliczyć wyznacznik tak? I jeśli wyznacznik bedzie = 0 to trzeba wziąść macierz o 1 stopien mniejszą i liczyć wyznacznik?

c) 1 -1 1 2
2 -2 2 4
0 0 0 1
1 1 -1-2

W tym wypadku tak jak w b) należy liczyć wyznacznik ?

Kurde , bo nie rozumiem tego do końca...

Aha! i jak mam macierze kwadratowe to moge wyliczyć rozwinięciem Laplace'a , a w przypadku np 4x5 musze wyliczyć z eliminacji Gaussa tak?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 18 gru 2008, o 01:32

Czyli w tym przypadku
a) 2 2 2
1 1 1
4 4 4
Pisałem o "ostatniej" macierzy w eliminacji Gaussa (schodkowej lub trójkątnej w przypadku macierzy kwadratowej. Wyznacznik powyższej macierzyjest równy 0. Ta macierz jest rzędu pierwszego.
b) Nie liczy się wyznacznka z macierzy niekwadratowej.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&3&6\\1&0&1&2\\ 3&1&-4&8\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccc}0&1&1&2\\1&0&1&2\\ 0&1&-7&2\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccc}1&0&1&2\\0&1&1&2\\ 0&1&-7&2\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccc}1&0&1&2\\0&1&1&0\\ 0&0&-8&2\end{array}\right]}\)
Ta macierz jest rzędu trzeciego.
c)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&2\\2&-2&2&4\\ 0&0&0&1\\1&1&-1&-2\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccc}1&-1&1&2\\0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\0&2&-2&-4\end{array}\right] ft[\begin{array}{cccc}1&-1&1&2\\0&2&-2&-4\\ 0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Ta macierz jest rzędu trzeciego.

chmarus13 · Post autor: **chmarus13** » 19 sty 2012, o 19:15

agulka1987 pisze:
raf123 pisze:dzięki.

Ale mam pytanie , jeśli otrzymam macierz 3x3 to mogę ją odrazu wyliczyć z sarussa?
Tak możesz, a jezeli chodzi o wczesniejsze pytanie dotyczace operacji to przy eleminacji Gaussa wykonujemy operacje wyłącznie na wierszach.

wybaczcie ze odświeżam ale moje pytanie brzmi czy przy eliminacji gaussa robimy operacje tylko na wierszach czy na kolumnach tez mozna?