Czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową ?? (suma wektorów)

[ŚwIeRsZcZ]

Witam ! Mam problem z udowodnieniem czy podany podzbiór jest przestrzenią liniową... Udowadniam dwa przypadki ale nie wiem jak rozpisać trzeci : \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b}\in V_{1}}\).

Przestrzeń:
\(\displaystyle{ V_{1}=\{(x,y,z) R^{3} : x+3y=0 , 4y-2z=0\}}\)

1) Czy \(\displaystyle{ \vec{0} V_{1}}\) ?


\(\displaystyle{ 1\cdot0+3\cdot0=0}\)
\(\displaystyle{ 4\cdot0-2\cdot0=0}\)

OK , warunek spełniony.

2) Czy \(\displaystyle{ \alpha\vec{a}\in V_{1}}\) \(\displaystyle{ (\alpha R \vec{a} V_{1})}\)


\(\displaystyle{ \vec{a}(x,y,z) : x+3y=0 , 4y-2z=0}\)

\(\displaystyle{ \alpha\vec{a}(\alpha x , y , z) : x+3(\alpha y)=0 , 4(\alpha y)-2(\alpha z)=0}\)

I)
\(\displaystyle{ \alpha\vec{a} V_{1} (x+3y)=0}\)

\(\displaystyle{ \alpha\vec{a} V_{1} x+3y=0}\)

II)
\(\displaystyle{ 4(\alpha y)-2(\alpha z)=0}\)

\(\displaystyle{ \alpha (4y-2z)=0}\)
\(\displaystyle{ 4y-2z=0}\)
Warunek spełniony.

3) Czy \(\displaystyle{ \vec{a}+\vec{b} V_{1}}\) ???

I tutaj mam problem, jak to rozpisać... z góry dziękuję za pomoc +

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ a=(a_1,a_2,a_3)}\)

\(\displaystyle{ b=(b_1,b_2,b_3)}\)

Jesli \(\displaystyle{ a,b\in V}\), to mamy:

(I) \(\displaystyle{ a_1+3a_2=0}\)

(II) \(\displaystyle{ 4a_2-2a_3=0}\)

(III) \(\displaystyle{ b_1+3b_2=0}\)

(IV) \(\displaystyle{ 4b_2-2b_3=0}\)

dodajac stronami (I),(III) oraz (II),(IV) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (a_1+b_1)+3(a_2+b_2)=0}\)

\(\displaystyle{ 4(a_2+b_2)-2(a_3+b_3)=0}\)

a to oznacza, ze

\(\displaystyle{ a+b\in V}\).

[ŚwIeRsZcZ]

dziękuję a jak będzie wyglądał dowód takiej przestrzeni:

\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t)\in R^{4} : x^{2}+y=0 \}}\)

[xiikzodz]

Nie bedzie w ogole wygladal. Ten zbior nie jest podprzestrzenia linoiwa.

[ŚwIeRsZcZ]

A mógłbym prosić o jakiś dowód tej tezy ?
Bo muszę to udowodnić algerbr.

[xiikzodz]

Bo np:

\(\displaystyle{ (2,-4,0,0)}\) nalezy

lecz

\(\displaystyle{ 2\cdot(2,-4,0,0)=(4,-8,0,0)}\)

nie nalezy, bo

\(\displaystyle{ 4^2-8\neq 0}\).

[ŚwIeRsZcZ]

To już ostatni przykład, wyszło mi że jest to podprzestrzeń, ale pewności nigdy za wiele:

\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\in R^{3} : 3x+4y=0 y+z=0 \}}\)

[xiikzodz]

Jest. Robisz dokladnie tak, jak ten pierwszy.

[ŚwIeRsZcZ]

Mam jeszcze takie pytanie, co w przypadku gdy mam jakąś przestrzeń i od razu nie mogę znaleźć żadnego kontrprzykładu na to że podany podzbiór należy do przestrzeni liniowej... Jak wtedy najszybciej to robić ??

mam np. przykład:

\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t)\in R^{4} : 2x+y=0 3x-z=0 \}}\)

Wiem już jest tutaj kontrprzykład dla sumy dwóch wektorów \(\displaystyle{ a + b = (2, -2 , 3, 0)}\)
wtedy \(\displaystyle{ 2 2+(-2) 0}\) i \(\displaystyle{ 3 2 - 3 0}\) ;

Ale chodzi oto jak do tego dojść ??

Rozpatruje przecież warunek suma a i b :

\(\displaystyle{ a=(a_{1}, a_{2} , a_{3}, a_{4})}\)
\(\displaystyle{ b=(b_{1}, b_{2} , b_{3}, b_{4})}\)

i mamy:
I)\(\displaystyle{ 2a_{1}+a_{2}=0}\)

II)\(\displaystyle{ 3a_{1}-a_{3}=0}\)

III)\(\displaystyle{ 2b_{1}+b_{2}=0}\)

IV)\(\displaystyle{ 3b_{1}-b_{3}=0}\)

dodając stronami I) z III) i II) z IV) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 2(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})=0}\)

\(\displaystyle{ 3(a_{1}+b_{1})-(a_{3}+b_{3})=0}\)

i jak to się ma na to że wiemy że będzie tutaj kontrprzykład ?? Przecież chyba z tego co wyszło wynika, że \(\displaystyle{ a+b V}\) .. a może się mylę ?? Dziękuję za łapotologiczne wytłumaczenie...

[xiikzodz]

Tam w nawiasie masz spojnik \(\displaystyle{ \vee}\) (UWAGA: umknelo mi to 2 posty wyzej! Tamta przestrzen nie jest liniowa!) dlatego ten zabieg z dodawaniem rownan stronami nie wyjdzie, bo z faktu:

\(\displaystyle{ (a=0 b=0) (c=0 d=0)}\)

nie wynika, ze

\(\displaystyle{ a+b=0\vee c+d=0}\).

Dla porownania. Z faktu:

\(\displaystyle{ (a=0 b=0) (c=0 d=0)}\)

wynika, ze

\(\displaystyle{ a+b=0\wedge c+d=0}\).

Myslimy o tym tak. Jesli nie widac od razu kontrprzykladu, to probujemy udowodnic i jesli sie nie udaje, to patrzymy dlaczego i ewentualnie produkujemy kontrprzyklad.