Hej,
mam takie zadanie:
dana jest przestrzeń ciągów rzeczywistych:
\(\displaystyle{ u*(a_{k}) = (u*a_{k})}\) i \(\displaystyle{ {(a_{k})_{k=1}}^{niesk} + {({b_{k})_{k=1}}^{niesk} = (a_{k}+b_{k})_{k=1}^{niesk}}\)
znalezc warunek dla \(\displaystyle{ \alpha}\), zeby zbior \(\displaystyle{ a_{k+2} + 2a_{k+1} + *a_{k} = 0}\) byl podprzestrzenia liniowa przestrzeni danej powyzej, oraz zawierala baze zlozona z ciagow geometrycznych, takich, ze pierwszy wyraz jest rowny 1, i kolejno \(\displaystyle{ q,q^2, q^3...}\).
Ja mam na to taki pomysl, ze jak juz pokazalem, ze ten zbior jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni danej powyzej(sprowadzilem ten zbior to do postaci: \(\displaystyle{ (3+\alpha)a_k - 2a_1 -a_2 = 0}\), to ukladam sobie rownanie:
\(\displaystyle{ a1 = \frac{3+\alpha}{2}*a_k - \frac{a_2}{2}}\)
i podstawiam odpowienie wartosci, wiec:
\(\displaystyle{ 1 = \frac{3+\alpha}{2}*q^{k-1} - \frac{q}{2}}\)
z tego wychodzi: \(\displaystyle{ \alpha = \frac{2+q}{q^{k-1}} - 3}\)
Czy moj sposob rozumowania/rozwiazania jest poprawny? Jesli nie, to jak mozna to inaczej rozwiazac?