Matematyka.pl

Mam taki problem, muszę rozwiązać takie równanie, ale do końca, czyli podając wszystkie rozwiązania i wartości parametrów. Wszystko byłoby proste, tylko jest jedno zastrzeżenie, muszę podać te rozwiązania jako liczy całkowite, a to dla mnie nie jest już takie klarowne. Nie wiem, czy muszę jakoś specjalnie dobierać parametry aby poźniej dobrze wychodziły rozwiązania, czy może jest jakiś algorytm na to? Bo jeśli mam strzelać dobierając parametry, to strasznie dużo czasu to zajmuje.

\(\displaystyle{ \begin{cases} -x _{3}+3x _{2}+4x_{1}+5x_{4}+4x_{5}= -20 \\ ...........5x_{2}-3x_{1}+ 6x_{4}-6x_{5}= 35 \\ .....................2x_{1}+3x_{4}-5x_{5}= 12 \end{cases}}\)

Masz 3 równania i 5 niewiadomych oraz widzimy, że wiersze są tutaj liniowo niezależne więc otrzymasz 2 parametry.

np niech \(\displaystyle{ x_1 = t, x_2 = s}\).
Teraz wyrażasz także \(\displaystyle{ x_3, x_4, x_5}\) za pomocą t oraz s.

jako wynik otrzymasz np:
\(\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (t, s, t+s, \frac{1}{2}t-s, t+\frac{1}{10}s)}\)
(to tylko przykład a nie rozw Twojego ukladu)

Będzie to rozwiązanie (zbiór rozwiązań) podane w pełnej ogólnosci. Jeśli by ktoś chciał wybrac rozwiazanie całkowite to można dobrac konkretne t i s (np \(\displaystyle{ (t,s)=(2,10)}\)) aby takie ono było.
Ewentualnie możesz napisać, że dla t będacych wielokrotnoscią 2 oraz dla s będących wielokrotnością 10 rozwiązanie układu jest całkowite.

Oczywiscie wszystkich rozwiązań nie podasz jako całkowitych z tego powodu, że one po prostu w większości nie są całkowite.