wykaz zbiór macierzy-ciałem...?

[Anioosiaaa]

Wykaż, że zbiór macierzy postaci \(\displaystyle{ \left\{\left[\begin{array}{rr} a& b\\-b& a\\\end{array}\right]: a,b\in\mathbb{R} \right\}}\) jest ciałem ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia macierzy.

Zapoznaj się z instrukcją LaTeX-a https://matematyka.pl/latex.htm
luka52

[max]

Zdaje się, że zabrakło znaczników:

Kod: Zaznacz cały

[tex][/tex]

Ale jeśli dobrze się doczytałem, to można pokazać, że to coś jest izomorficzne z ciałem liczb zespolonych, wystarczy sprawdzić, że odwzorowanie \(\displaystyle{ a + bi \stackrel{\varphi}{\mapsto} \begin{pmatrix} a & b\\-b & a\end{pmatrix}}\) zachowuje działania i przenosi \(\displaystyle{ 1}\) na macierz jednostkową (surjektywność jest natychmiastowa a injektywność wyniknie wtedy np z tego, że \(\displaystyle{ \varphi(0) = 0}\), i jeśli \(\displaystyle{ \varphi(z_{1}) = \varphi(z_{2})}\), to \(\displaystyle{ \varphi(z_{1} - z_{2}) = \varphi(0) = 0}\), i jeśli \(\displaystyle{ z_{1}\neq z_{2}}\), to \(\displaystyle{ \varphi(1) = \varphi\left(\frac{1}{z_{1} - z_{2}}\right)\varphi(z_{1} - z_{2}) = \varphi\left(\frac{1}{z_{1} - z_{2}}\right)\cdot 0 = 0}\) - sprzeczność.
Jeśli się wie trochę o pierścieniach, to injektywność można też uzasadnić w ten sposób, że \(\displaystyle{ \varphi^{-1}(\{0\})}\) jest ideałem w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), a w ciele nie ma ideałów właściwych, zatem ponieważ \(\displaystyle{ \varphi(1)\neq 0}\), to \(\displaystyle{ \varphi^{-1}(\{0\}) = \{0\}}\), a stąd wynika różnowartościowość).