Proszę o pomoc w wyznaczeniu bazy i wymiaru podprzestrzeni liniowej poniższego układy równań liniowych jednorodnych:
\(\displaystyle{ x_{1} + x _{2} - x _{3} = 0 , -2 x_{1} - x _{2} + 2x_{3} = 0, - x_{1} + x_{3} =0}\)
baza i wymiar podprzestrzeni liniowej
-
Harry Xin
- Użytkownik
- Posty: 545
- Rejestracja: 9 sie 2007, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 148 razy
- Pomógł: 83 razy
baza i wymiar podprzestrzeni liniowej
Tworzymy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0
\\ -2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0 \end{cases}}\)
Możesz to zapisać w postaci macierzy (jak wolisz). Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy a następnie do pierwszego trzeci i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0 \end{cases}}\)
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ \begin{case} x_{2}=0
\\ x_{1}=x_{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{3}}\) jest parametrem przyjmującym wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).
Baza to wszystkie wektory liniowo niezależne: \(\displaystyle{ [1,0,1]}\)
Rozmiar podprzestrzeni liniowej jest równy ilości wektorów w bazie, czyli \(\displaystyle{ dimV=1}\)
Oczywiście przypominam, że wektor [0,0,0] jest wektorem zerowym.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=0
\\ -2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0 \end{cases}}\)
Możesz to zapisać w postaci macierzy (jak wolisz). Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy a następnie do pierwszego trzeci i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{2}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0
\\ -x_{1}+x_{3}=0 \end{cases}}\)
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ \begin{case} x_{2}=0
\\ x_{1}=x_{3}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_{3}}\) jest parametrem przyjmującym wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\).
Baza to wszystkie wektory liniowo niezależne: \(\displaystyle{ [1,0,1]}\)
Rozmiar podprzestrzeni liniowej jest równy ilości wektorów w bazie, czyli \(\displaystyle{ dimV=1}\)
Oczywiście przypominam, że wektor [0,0,0] jest wektorem zerowym.