odwracanie macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
miki_czchow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 5 gru 2008, o 12:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Niemcy
Podziękował: 3 razy

odwracanie macierzy

Post autor: miki_czchow »

Muszę odwrócic macierz, niestety mam problemy z operacjami na macierzach, tzn nie wiem co gdzie i kiedy żeby dobrze było.
Macierz wygląda tak:

A= \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&0&0&0\\1&3&0&0&0\\0&0&2&-1&1\\0&0&1&2&-1\\0&0&3&2&4\end{bmatrix}}\)

proszę mi tylko napisac jakie operacje trzeba wykonac, z resztą powinnam sobie już poradzic.
Awatar użytkownika
Ptaq666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piła / Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 154 razy

odwracanie macierzy

Post autor: Ptaq666 »

Masz na myśli, że chcesz stworzyć macierz odwrotną ? No to robisz tak :

\(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{det.A} ft[\begin{array}{ccc}D_{1,1} & D_{1,2} & D_{1,3}.........\\D_{2,1} & D_{2,2} & D_{2,3} ............\\ D_{3,1} & D_{3,2} & D_{3,3} .......\end{array}\right] ^{T}}\)
itd itd oczywiście wierszy będzie odpowiednio tyle ile kolumn

Element \(\displaystyle{ D_{x,y}}\) To wyznacznik macierzy powstałej poprzez wykreślenie x-tego wiersza oraz y-tej kolumny z macierzy A. Całosc jest transponowana, czyli zamieniasz wiersze z kolumnami (to nie jest obrót o 90 stopni!).

Powinno wyjść :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 0 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{10}{23} & \frac{6}{23} & \frac{3}{23} \\ 0 & 0 & - \frac{7}{23} & \frac{5}{23} & \frac{3}{23} \\ 0 & 0 & - \frac{4}{23} & - \frac{7}{23} & \frac{5}{23} \end{array}\right]}\)
agulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3090
Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 879 razy

odwracanie macierzy

Post autor: agulka1987 »

miki_czchow pisze:Muszę odwrócic macierz, niestety mam problemy z operacjami na macierzach, tzn nie wiem co gdzie i kiedy żeby dobrze było.
Macierz wygląda tak:

A= \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&0&0&0\\1&3&0&0&0\\0&0&2&-1&1\\0&0&1&2&-1\\0&0&3&2&4\end{bmatrix}}\)

proszę mi tylko napisac jakie operacje trzeba wykonac, z resztą powinnam sobie już poradzic.
Możesz to zrobić metodą dopełnień tak jak proponuje Ptaq666 ale przy macierzach większych wymiarów to jest masakra. Lepiej (wg mnie) zrobić to za pomocą przekształceń elementarnych. Macierz A rozszerzasz o macierz jednostkową i za pomoca przekształceń elementarnych doprowadzasz macierz A do postaci jednostkowej a w jednostkowej powstaje macierz odwrotna

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&0&0&0\left|1&0&0&0&0\\1&3&0&0&0\left|0&1&0&0&0\\0&0&2&-1&1\left|0&0&1&0&0\\0&0&1&2&-1\left|0&0&0&1&0\\0&0&3&2&4\left|0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\) zamieniamy w1 z w2 oraz w3 z w4

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3&0&0&0\left|0&1&0&0&0\\2&1&0&0&0\left|1&0&0&0&0\\0&0&1&2&-1\left|0&0&0&1&0\\0&0&2&-1&1\left|0&0&1&0&0\\0&0&3&2&4\left|0&0&0&0&1\end{bmatrix}\stackrel{w2 + w1 (-2), w4 + w3\cdot (-2), w5 + w3\cdot (-3)}{ }\begin{bmatrix} 1&3&0&0&0\left|0&1&0&0&0\\0&-5&0&0&0\left|1&-2&0&0&0\\0&0&1&2&-1\left|0&0&0&1&0\\0&0&0&-5&3\left|0&0&1&-2&0\\0&0&0&-4&7\left|0&0&0&-3&1\end{bmatrix}\stackrel{w2 (-1/5), w4\cdot (-1/5)}{ }}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3&0&0&0\left|0&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\left|-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}&0&0&0\\0&0&1&2&-1\left|0&0&0&1&0\\0&0&0&1&-\frac{3}{5}\left|0&0&-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}&0\\0&0&0&-4&7\left|0&0&0&-3&1\end{bmatrix}\stackrel{w1+w2 (-3), w3 + w4\cdot (-2),w5 + w4 (4)}{ }\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\left|\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}&0&0&0\\0&1&0&0&0\left|-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}&0&0&0\\0&0&1&0&\frac{1}{5}\left|0&0&\frac{2}{5}&\frac{1}{5}&0\\0&0&0&1&-\frac{3}{5}\left|0&0&-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}&0\\0&0&0&0&\frac{23}{5}\left|0&0&-\frac{4}{5}&-\frac{7}{5}&1\end{bmatrix}\stackrel{w5 (5/23)}{ }}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\left|\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}&0&0&0\\0&1&0&0&0\left|-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}&0&0&0\\0&0&1&0&\frac{1}{5}\left|0&0&\frac{2}{5}&\frac{1}{5}&0\\0&0&0&1&-\frac{3}{5}\left|0&0&-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}&0\\0&0&0&0&1\left|0&0&-\frac{4}{23}&-\frac{7}{23}&\frac{5}{23}\end{bmatrix}\stackrel{w3+w5 (-1/5), w4 + w5\cdot (3/5)}{ }\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\left|\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}&0&0&0\\0&1&0&0&0\left|-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}&0&0&0\\0&0&1&0&0\left|0&0&\frac{10}{23}&\frac{6}{23}&-\frac{1}{23}\\0&0&0&1&0\left|0&0&-\frac{7}{23}&\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\0&0&0&0&1\left|0&0&-\frac{4}{23}&-\frac{7}{23}&\frac{5}{23}\end{bmatrix}}\)
ODPOWIEDZ