Istnienie rozwiązań układów równań

[natalyyyUK]

Zadanie 2.
Zbadać istnienie rozwiązań następujących układów równań:
a)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_{1} + x_{2} + x_{3} + 2x_{4} = 1 \\
2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} + x_{4} = 1 \\
x_{1} - 2x_{2} + 2x_{3} - x_{4}= 0
\end{cases}}\)
b)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3}= 12 \\
2x_{1} + 4x_{2} + x_{3} = 8 \\
3x_{1} + 7x_{2} + 3x_{3} = 20 \\
-x_{1} - x_{2} + x_{3}= 4
\end{cases}}\)

Czy znajdzie sie osoba, ktora by mi pomogla? nie bede ukrywac, ze z tej dziedziny jestem ciemna:( nawet klamry mi do ukladow nie wychodza ;/

[scyth]

Umiesz liczyć rząd macierzy?
I przeczytaj jeszcze raz instruckję LaTeXa.

[agulka1987]

Zadanie 2.
Zbadać istnienie rozwiązań następujących układów równań:

r - rząd macierzy głownej
s - rzad macierzy rozszerzonej
n - ilość niewiadomych

jeżeli \(\displaystyle{ r=s=n}\) układ równań jest oznaczony i posiada dokładnie jedno rozwiazanie
jeżeli \(\displaystyle{ r=s (-2), w3 + w1 (-1)}{ }\begin{bmatrix}1&1&1&2\left|1\\0&-3&1&-3\left|-1\\0&-3&1&-3\left|-1\end{bmatrix}}\) ponieważ w2 i w3 sa takie same pomijamy jeden z nich

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&1&2\left|1\\0&-3&1&-3\left|-1\end{bmatrix}\stackrel{w2 (-1/3)}{ }\begin{bmatrix}1&1&1&2\left|1\\0&1& \frac{1}{3} &1\left|- \frac{1}{3} \end{bmatrix}\stackrel{w1 + w2\cdot (-1}{ }\begin{bmatrix}1&0& \frac{2}{3} &1\left| \frac{4}{3} \\0&1& \frac{1}{3} &1\left|- \frac{1}{3} \end{bmatrix}}\)

poniewaz rzad macierzy głownej i rozszerzonej = 2 a liczba niewiadowmych to 4 otrzymaliśmy układ równań nieoznaczonych

za \(\displaystyle{ x_{3}}\) podstawiamy parametr t
za \(\displaystyle{ x_{4}}\) podstawiamy parametr u

i otrzymujemy

\(\displaystyle{ x_{1} + \frac{2}{3}t + u = \frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{4}{3}- \frac{2}{3}t - u}\)

\(\displaystyle{ x_{2} + \frac{1}{3}t + u = - \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}t - u}\)

rozwiązanie układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} = \frac{4}{3}- \frac{2}{3}t - u\\x_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{1}{3}t - u\\x_{3} = t\\ x_{4} = u \end{cases}}\)

Zadanie 2.b)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3}= 12 \\
2x_{1} + 4x_{2} + x_{3} = 8 \\
3x_{1} + 7x_{2} + 3x_{3} = 20 \\
-x_{1} - x_{2} + x_{3}= 4
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&3&2\left|12\\2&4&1\left|8\\3&7&3\left|20\\-1&-1&1\left|4\end{bmatrix}\stackrel{w2 + w1 (-2), w3 + w1 (-3), w4 + w1}{ }\begin{bmatrix}1&3&2\left|12\\0&-2&-3\left|-4\\0&-2&-3\left|-16\\0&2&3\left|16\end{bmatrix}\stackrel{w4 + w3 }{ }\begin{bmatrix}1&3&2\left|12\\0&-2&-3\left|-4\\0&-2&-3\left|-16\\0&0&0\left|0\end{bmatrix}\stackrel{w3 + w2 (-1)}{ }\begin{bmatrix}1&3&2\left|12\\0&-2&-3\left|-4\\0&0&0\left|-12\\0&0&0\left|0\end{bmatrix}}\)

rząd macierzy głownej = 2 a rząd macierzy rozszerzonej = 3 wiec układ równań jest sprzeczny