Własności sumy podwójnej

[tronas]

Otóż mam taki problem, spotkałem się z dwoma typami pewnej własności sumy podwójnej i nie wiem czy to są dwie wersje czy też jedna z nicj jest błędna. Oto one:

a) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} ft( a_{ij}+ b_{ij} \right)= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}+\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} b_{ij}}\)

b) \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} ft( a_{ij}+ b_{ij} \right)= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{ij}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} b_{ij}}\)

[Crizz]

Obie są prawidłowe. Pierwsza własność jest oczywista, druga wynika z pierwszej na podstawie zależności \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{ij}}\).

Ta ostatnia własność wynika z przedstawienia sumy wszystkich elementów macierzy z jednej strony jako sumy sum wszystkich liczb w kolejnych wierszach macierzy, a z drugiej strony jako sumy sum wszystkich liczb w kolejnych kolumnach.

[tronas]

To ja mam jeszcze jedno pytanie, otóż mamy taka sumę podwójną: \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{4} \sum_{j=3}^{6}1}\) i wynik z tego wychodzi 12.... ja niestety nie wiem w jaki sposób.

[Crizz]

Możesz traktować sumę \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}a_{ij}}\) jako sume wszystkich wyrazów pewnej macierzy \(\displaystyle{ [a_{ij}]_{m n}}\). Macierz w tym zadaniu składa się z samych jedynek, przy czym numeracja nie zaczyna się od zera, ale macierz ma 3 wiersze i 4 kolumny, zatem suma wszystkich jej elementów wynosi 12.

Możesz to tez rozpisać jako: \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{4} ft( \sum_{j=3}^{6}1 \right)= \sum_{j=3}^{6}1 + \sum_{j=3}^{6}1 + \sum_{j=3}^{6}1=3 4=12}\)

[ Dodano: 7 Grudnia 2008, 19:26 ]
(sumy dodajesz trzy razy, bo k zmienia się od 2 do 4)