Matematyka.pl

Witam ! Nie wiem jak rozwiązać takie równanie ? W przypadku macierzy kwadratowych sprawa była prosta - liczyłem wyznacznik macierzy A i następnie rozpatrywałem przypadki korzystając z twierdzenia Kroneckera-capelliego , co zrobić w takim przypadku ? Na lekcji miałem pojęcie "minora" , czy tutaj właśnie trzeba skorzystać z tego ?? Dziękuję za wyjaśnienie.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x - y - z + t = 0\\ x + y + z - t = 0\\ x + y - z + t = 0\end{cases}}\)

zapisuję macierz A:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&-1&1\\1&1&1&-1\\1&1&-1&1\end{array}\right]}\)

I co dalej ?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&-1&1\left|0\\1&1&1&-1\left|0\\1&1&-1&1\left|0\end{bmatrix} \stackrel{w2 i w3 + w1 (-1)}{ }\begin{bmatrix}1&-1&-1&1\left|0\\0&2&2&-2\left|0\\0&2&0&0\left|0\end{bmatrix} \stackrel{w2 i w3 \frac{1}{2} }{ }\begin{bmatrix}1&-1&-1&1\left|0\\0&1&1&-1\left|0\\0&1&0&0\left|0\end{bmatrix} \stackrel{w1 + w2 i w3 + w2\cdot (-1) }{ }\begin{bmatrix}1&0&0&0\left|0\\0&1&1&-1\left|0\\0&0&-1&1\left|0\end{bmatrix}\stackrel{w2 + w3 }{ }\begin{bmatrix}1&0&0&0\left|0\\0&1&0&0\left|0\\0&0&-1&1\left|0\end{bmatrix}\stackrel{w3 (-1) }{ }\begin{bmatrix}1&0&0&0\left|0\\0&1&0&0\left|0\\0&0&1&-1\left|0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x =0\\y=0\\ z-t=0 z=t\end{cases}}\)

Badamy rząd macierzy współczynników oraz rząd macierzy uzupełnionej.

Macierz ma wymiary 3x4, zatem rząd tej macierzy wynosi co najwyżej 3. Bierzemy minor o wymiarach 3x3 macierzy i liczymy jego wyznacznik (np. 3 pierwsze kolumny). Jest on różny od 0, zatem rząd tej macierzy wynosi 3. Gdyby wynosił on 0 trzeba by było sprawdzić inne kombinacje.

Rząd macierzy współczynników wynosi 3. Rząd macierzy uzupełnionej również wynosi 3, ponieważ zawiera ten sam minor.

Na mocy naszego twierdzenia układ jest rozwiązywalny.

Rozwiązanie tego układu jest dosyć proste. Wystarczy od 1. wiersza odjąć 3, co od razu da nam y=0, następnie do 2. wiersza dodajemy 3 i mamy x=0. Rozpatrując nasze ostatnie równanie widzimy, że z=t, gdzie t jest parametrem.

Dziękuję bardzo.