Układy równań liniowych

[natalyyyUK]

Zadanie 1. Zbadać, który z poniższych układów jest układem Cramera. Znaleźć jego
rozwiązanie.

a) x1+2x2-x3=1
-x1+x2+x3=2
x1+5x2-x3=4

b) x1+2x2 +3x3=6
2x1+x2+x3=4
3x1+x2-4x3=0

nie wiem jak to zrobic ;/ uklad liniowy ( klamerek nie moglam zrobic , bo cos mi nie wychodzio) mam dosc powazny problem, bo siedze nad tym ,a jest to ostatni dzial z macierzy ;/ ehh

[ Dodano: 5 Grudnia 2008, 10:21 ]
nawet ideksy dolne mi nie wyszly;/ za X powinny byc ideksy dolne przerpaszam za utrudnienie ....

[agulka1987]

Przed przystapieniem do rozwiazywania układów równań za pomoca wzoru Cramera musisz sprawdzić dwa warunki:
1. sprawdzić czy układ równań tworzy macierz kwadratową
2. obliczyć wyznacznik macierzy głównej. Jeżeli jest \(\displaystyle{ det A 0}\) mozemy zastosować wzór Cramera tj. \(\displaystyle{ x_{i}= \frac{detA_{i}}{detA}}\)

1.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2}-x_{3}=1\\-x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\\x_{1}+5x_{2}-x_{3}=4 \end{cases}}\)

na pierwszy rzut oka widac że tworzy macierz kwadratowa więc mozemy obliczyć wyznacznik

\(\displaystyle{ det A=\begin{bmatrix} 1&2&-1\\-1&1&1\\1&5&-1\end{bmatrix}=0}\)

poniewaz det=0 nie mozemy rozwiazac układu równan metoda Cramera.

2.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} + 2x_{2}+3x_{3}=6\\2x_{1}+x_{2}+x_{3}=4\\3x_{1}+x_{2}-4x_{3}=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ det A=\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&1\\3&5&-4\end{bmatrix}=14}\)

\(\displaystyle{ detA 0}\) wiec mozemy przejśc do liczenia wyznaczników macierzy pomocniczych zastepując poszczególne kolumny kolumna składajaca sie z wyników układu równań

\(\displaystyle{ det A_{1}=\begin{bmatrix} 6&4&0\\2&1&1\\3&5&-4\end{bmatrix}=14}\)

\(\displaystyle{ det A_{2}=\begin{bmatrix} 1&2&3\\6&4&0\\3&5&-4\end{bmatrix}=14}\)

\(\displaystyle{ det A_{3}=\begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&1\\6&4&0\end{bmatrix}=14}\)

a teraz podstawiamy do wzoru

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{detA_{1}}{detA}= \frac{14}{14}=1}\)

\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{detA_{2}}{detA}= \frac{14}{14}=1}\)

\(\displaystyle{ x_{3}= \frac{detA_{3}}{detA}= \frac{14}{14}=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} = 1\\ x_{2}=1\\x_{3}=1\end{cases}}\)


pozdrawiam

[JankoS]

1. sprawdzić czy układ równań tworzy macierz kwadratową

Na pewno nie tworzy.
Dalej Koleżanka konsekwentnie pisze \(\displaystyle{ detA=A.}\) Wprawdzie wiadomo. o co chodzi, ale formalnie to nie ma sensu.
Układ z zadania 1 nie jest układem Cramera, ale może mieć rozwiązanie. można go rozwiązać w pamięci
x1+2x2-x3=1
-x1+ x2+x3=2
x1+5x2-x3=4
Po dodaniu stronami 1 i 2 dostajemy x2 = 3. Po podstawieniu do 1 i 3 mamy
x1-x3=-1
x1-x3=-1
a więc układ jest nieoznaczony spełniaja go np. trójki postaci \(\displaystyle{ (x_1, \ 1, \ x_1+1), x_1 R.}\)