ilość rozwiązań równania liniowego - dowód

[lukas_7]

Wykazać, że jeśli równanie liniowe \(\displaystyle{ A(x)=b}\) ma dwa różne rozwiązania, to ma ich nieskończenie wiele.

[Crizz]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\) są dwoma rozwiązaniami równania. Gdyby \(\displaystyle{ A 0}\), to z zależności \(\displaystyle{ Ax_{1}=b}\) i \(\displaystyle{ Ax_{2}=b}\), wynikałoby, że \(\displaystyle{ Ax_{1}=Ax_{2}}\), czyli \(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}}\), wbrew założeniu. Stąd \(\displaystyle{ A=0}\). Gdyby z kolei \(\displaystyle{ b 0}\), to również otrzymujemy sprzeczność z założeniem, że forma zdaniowa \(\displaystyle{ Ax=b}\) jest prawdziwa dla pewnych \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\). To oznacza, że również \(\displaystyle{ b=0}\), czyli równanie spełnia dowolne x. Rozwiązań równania jest więc nieskończenie wiele.

[lukas_7]

Co oznacza, że A=0 lub różne od 0? Chodzi o wyznaczniki?

[Crizz]

Nie napisałeś, czym u ciebie jest A.

[lukas_7]

Pewnie jest operatorem liniowym.

[Qń]

Zauważmy najpierw, że przestrzeń rozwiązań równania \(\displaystyle{ Ax=0}\) jest liniowa, w szczególności więc, jeśli istnieje niezerowy wektor będący rozwiązaniem, to rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Jeśli \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) są różnymi rozwiązaniami wyjściowego równania, to po odjęciu stronami równości \(\displaystyle{ Ax_1=b}\) i \(\displaystyle{ Ax_2=b}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ A(x_1-x_2)=0}\). Ale \(\displaystyle{ x_1-x_2 0}\), więc w myśl poprzedniej uwagi równanie \(\displaystyle{ Ax=0}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli \(\displaystyle{ v}\) jest jego rozwiązaniem, to z kolei \(\displaystyle{ v+x_1}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ Ax=b}\), istotnie więc to ostatnie ma ich nieskończenie wiele, czego należało dowieść.

Q.