rozwiąż równania macierzowe

[tomekgama]

Witam
Mam prośbę może ktoś pomoże rozwiązać takie działania nie potrawie sobie z tym poradzić
Ile wynosi \(\displaystyle{ X=}\)aby można było podstawić daną macierz


\(\displaystyle{ E=A^{-1}A=AA^{-1}}\)
\(\displaystyle{ EA=AE=A}\)

Rozwiąż dane działania:

1.Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ AA^{T}X=2A}\)

\(\displaystyle{ A=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\end{array}\right]}\)


2. Znależc macierz odwrotną do macierzy \(\displaystyle{ X^{-1}=AA^{T}-2E}\)

\(\displaystyle{ A=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&1&2\end{array}\right]}\)


3. Znależć macierz X spełniającą równanie \(\displaystyle{ AA^{T}X=E}\)

\(\displaystyle{ A=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\1&2&0\end{array}\right]}\)


4. Wyznaczyć macierz x spełniające równanie \(\displaystyle{ XA+A^{T}=3E}\)

\(\displaystyle{ A=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&4&2\\2&3&2\\1&1&1\end{array}\right]}\)


5. Wyznaczyć macierz x spełniające równanie \(\displaystyle{ (A+E)X=B}\)

\(\displaystyle{ A=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&1&1\\1&-1&1\\2&0&-1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ B=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&3&4\\2&3&4\end{array}\right]}\)


6.Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy

\(\displaystyle{ A=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&2&1\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&1\\1&0\end{array}\right]}\)

[Szemek]

1.Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ AA^{T}X=2A}\)

\(\displaystyle{ A=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3 \\ 0&1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0 \\ 2&1 \\ 3&2 \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} 2&4&6 \\ 0&2&4 \end{bmatrix} \\
X=\begin{bmatrix} a&b&c \\ d&e&f \end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix} 14&8 \\ 8&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a&b&c \\ d&e&f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4&6 \\ 0&2&4 \end{bmatrix} \\
\begin{cases} 14a+8d=2 \\ 14b+8e=4 \\ 14c+8f=6 \\ 8a+5d=0 \\ 8b+5e=2 \\ 8c+5f=4 \end{cases} \iff
\begin{cases} a=\frac{8}{3} \\ b=\frac{2}{3} \\ c=-\frac{1}{3} \\ d=-\frac{8}{3} \\ e=-\frac{2}{3} \\ f=\frac{4}{3} \end{cases} \\
X=\begin{bmatrix} \frac{8}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{8}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)

[tomekgama]

Bardzo Dziękuje na takie rozwiązanie raczej sam bym nie wpadł przeczytałem już dwie książki o macierzach ale tak prostego rozwiązania nie znalazłem nigdzie.
Ja to zadanie próbowałem tak ( ale nie wiem czy nie wymyśliłem jakieś głupoty):
\(\displaystyle{ AA^{T}=I}\)
\(\displaystyle{ I^{-1}IX=2A /I^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=I^{-1}2A}\)
\(\displaystyle{ X=(AA^{T})^{-1}2A}\)

A jak rozwiązać pozostałe ?

[Szemek]

tomekgama,
Niech \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą kwadratową:
\(\displaystyle{ A A^{-1} = I}\)
I - macierz jednostkowa
Twój sposób rozwiązania nie wydaje mi się właściwy.

Jak dla mnie, treść zadania nie jest do końca poprawna.
Myślę, że \(\displaystyle{ E}\) jest macierzą jednostkową odpowiedniego wymiaru, tzn. takiego, który jest aktualnie potrzebny w zadaniu.


Wiem, że istnieje coś takiego jak uogólniona macierz odwrotna (dla macierzy prostokątnych), ale tutaj chyba nie będzie miało to zastosowania. Na wykładach nie miałeś takiego zagadnienia

[tomekgama]

Na wykładach były tyko 3 przykłady we wszystkich przykładach dana macierz \(\displaystyle{ E=}\) miała 3 wiersze i 3 kolumny wtedy można policzyć \(\displaystyle{ DetA}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ A^{-1}}\)
ale jeżeli dana macierz ma tylko 2 wiersze i 3 kolumny (zadanie nr. 1,2,3.) to jak wyliczyć \(\displaystyle{ DetA}\) i co z tym nieszczęsnym \(\displaystyle{ E}\) ?

\(\displaystyle{ E=AA^{-1}}\)
\(\displaystyle{ EA=AE=A}\)




1.
\(\displaystyle{ AAX=E}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}A^{-1}}\)

2.
\(\displaystyle{ XA=C+2B}\)
\(\displaystyle{ X=(C+2B)A^{-1}}\)

3.
\(\displaystyle{ XA=B}\)
\(\displaystyle{ X=BA^{-1}}\)