Iloczyn wektorowy...

[karlkar]

Mam takie dość nietypowe pytanie... Czy istnieje iloczyn wektorowy wektorów o większej ilości współrzędnych niż 3? Jeśli tak, to jaki jest wzór na taki iloczyn wektorowy wektorów n wymiarowych?

[xiikzodz]

Zalezy, co rozumiesz pod pojeciem "iloczyn wektorowy". Jesli ma to byc operacja dwuliniowa, ktorej wynik jest prostopadly do argumentow dlugosci rownej polu rownolegloboku rozpietego na argumentach, to z pewnych raczej glebokich rozwazan wynika, ze taki iloczyn istnieje jedynie w wymiarach \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 7}\).

Wzor na produkt w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^7}\)... jak sie zna liczby Cayley's to latwy, a jak nie, to strasznie dlugi:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}x_1\\x_1\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}y_1\\y_1\\y_3\\y_4\\y_5\\y_6\\y_7\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
x_2y_4-x_4y_2+x_3y_7-x_7y_3+x_5y_6-x_6y_5\\
x_3y_5-x_5y_3+x_4y_1-x_1y_4+x_6y_7-x_7y_6\\
x_4y_6-x_6y_4+x_5y_2-x_2y_5+x_7y_1-x_1y_7\\
x_5y_7-x_7y_5+x_6y_3-x_3y_6+x_1y_2-x_2y_1\\
x_6y_1-x_1y_6+x_7y_4-x_4y_7+x_2y_3-x_3y_2\\
x_7y_2-x_2y_7+x_1y_5-x_5y_1+x_3y_4-x_4y_3\\
x_1y_3-x_3y_1+x_2y_6-x_6y_2+x_4y_5-x_5y_4\\
\end{pmatrix}}\)