Niech \(\displaystyle{ A Mat_{n}(R)}\) bedzie taka macierza, ze \(\displaystyle{ AB=BA}\) dla dowolnej macierzy \(\displaystyle{ B Mat_{n}(R)}\). Udowodnij, ze \(\displaystyle{ A=x I_{n}}\) dla pewnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\).
Prosilbym o jasne wyjasnienie oraz, jesli mozliwe, rozwiazanie powyzszego zadania.
Zadanie z macierza jednostkowa
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Zadanie z macierza jednostkowa
Skoro to działa dla dowolnej macierzy \(\displaystyle{ B}\), to w szczególności dla takiej, która ma jedynkę na miejscu \(\displaystyle{ i i}\), a poza tym same zera. Jeśli przemnożymy \(\displaystyle{ A}\) przez takie stworzenie z lewej strony, to w wyniku otrzymamy coś co w i-tej kolumnie ma i-tą kolumnę \(\displaystyle{ A}\), a poza tym same zera. Jeśli zaś przemnożymy z prawej strony, to otrzymamy coś, co ma w i-tym wierszu i-ty wiersz \(\displaystyle{ A}\), a poza tym same zera. Skoro zaś pierwszy coś i drugi coś są sobie równe, stąd wniosek, że macierz \(\displaystyle{ A}\) niezerowe wyrazy może mieć tylko na przekątnej.
Załóżmy więc teraz dodatkowo, że \(\displaystyle{ a_{ii} a_{jj}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ i j}\) (chodzi o odpowiednie wyrazy macierzy \(\displaystyle{ A}\), oznaczam w standardowy sposób). Za macierz \(\displaystyle{ B}\) przyjmijmy sobie żyjątko, w którym \(\displaystyle{ b_{ij}=b_{ji}=1}\), a cała reszta jest zerem. Teraz w macierzy \(\displaystyle{ C=AB}\) mamy \(\displaystyle{ c_{ij}=a_{ii}, c_{ji}=a_{jj}}\), a w macierzy \(\displaystyle{ D=BA}\) mamy: \(\displaystyle{ d_{ij}=a_{jj}, c_{ji}=a_{ii}}\). Ale to te same macierze, więc \(\displaystyle{ a_{ii}=a_{jj}}\), czyli sprzeczność z założeniem. Skoro zaś założenie było fałszywe, to znaczy, że na przekątnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) stoi jedna i ta sama liczba, to zaś oznacza tezę.
Q.
Załóżmy więc teraz dodatkowo, że \(\displaystyle{ a_{ii} a_{jj}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ i j}\) (chodzi o odpowiednie wyrazy macierzy \(\displaystyle{ A}\), oznaczam w standardowy sposób). Za macierz \(\displaystyle{ B}\) przyjmijmy sobie żyjątko, w którym \(\displaystyle{ b_{ij}=b_{ji}=1}\), a cała reszta jest zerem. Teraz w macierzy \(\displaystyle{ C=AB}\) mamy \(\displaystyle{ c_{ij}=a_{ii}, c_{ji}=a_{jj}}\), a w macierzy \(\displaystyle{ D=BA}\) mamy: \(\displaystyle{ d_{ij}=a_{jj}, c_{ji}=a_{ii}}\). Ale to te same macierze, więc \(\displaystyle{ a_{ii}=a_{jj}}\), czyli sprzeczność z założeniem. Skoro zaś założenie było fałszywe, to znaczy, że na przekątnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) stoi jedna i ta sama liczba, to zaś oznacza tezę.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 5 lis 2010, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podkarpacie
- Podziękował: 1 raz
Zadanie z macierza jednostkowa
Czy teza nie byłaby prawdziwa, gdyby osłabić założenie do postaci: dla dowolnej odwracalnej macierzy B?
EDIT: To jest równoważne temu, że jedyną macierzą podobną do A jest A. Potrafię pokazać, że wtedy A ma wszystkie wyrazy na przekątnej równe, ale nie umiem pokazać, że reszta jest zerem.
EDIT: To jest równoważne temu, że jedyną macierzą podobną do A jest A. Potrafię pokazać, że wtedy A ma wszystkie wyrazy na przekątnej równe, ale nie umiem pokazać, że reszta jest zerem.