Zadanie z macierza jednostkowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
iksarp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 12 razy

Zadanie z macierza jednostkowa

Post autor: iksarp »

Niech \(\displaystyle{ A Mat_{n}(R)}\) bedzie taka macierza, ze \(\displaystyle{ AB=BA}\) dla dowolnej macierzy \(\displaystyle{ B Mat_{n}(R)}\). Udowodnij, ze \(\displaystyle{ A=x I_{n}}\) dla pewnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\).

Prosilbym o jasne wyjasnienie oraz, jesli mozliwe, rozwiazanie powyzszego zadania.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Zadanie z macierza jednostkowa

Post autor: Kartezjusz »

Twoja macierz jest o wymiarach "n na n" w ciele liczb rzeczywistych?
iksarp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 12 razy

Zadanie z macierza jednostkowa

Post autor: iksarp »

tak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Zadanie z macierza jednostkowa

Post autor: »

Skoro to działa dla dowolnej macierzy \(\displaystyle{ B}\), to w szczególności dla takiej, która ma jedynkę na miejscu \(\displaystyle{ i i}\), a poza tym same zera. Jeśli przemnożymy \(\displaystyle{ A}\) przez takie stworzenie z lewej strony, to w wyniku otrzymamy coś co w i-tej kolumnie ma i-tą kolumnę \(\displaystyle{ A}\), a poza tym same zera. Jeśli zaś przemnożymy z prawej strony, to otrzymamy coś, co ma w i-tym wierszu i-ty wiersz \(\displaystyle{ A}\), a poza tym same zera. Skoro zaś pierwszy coś i drugi coś są sobie równe, stąd wniosek, że macierz \(\displaystyle{ A}\) niezerowe wyrazy może mieć tylko na przekątnej.

Załóżmy więc teraz dodatkowo, że \(\displaystyle{ a_{ii} a_{jj}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ i j}\) (chodzi o odpowiednie wyrazy macierzy \(\displaystyle{ A}\), oznaczam w standardowy sposób). Za macierz \(\displaystyle{ B}\) przyjmijmy sobie żyjątko, w którym \(\displaystyle{ b_{ij}=b_{ji}=1}\), a cała reszta jest zerem. Teraz w macierzy \(\displaystyle{ C=AB}\) mamy \(\displaystyle{ c_{ij}=a_{ii}, c_{ji}=a_{jj}}\), a w macierzy \(\displaystyle{ D=BA}\) mamy: \(\displaystyle{ d_{ij}=a_{jj}, c_{ji}=a_{ii}}\). Ale to te same macierze, więc \(\displaystyle{ a_{ii}=a_{jj}}\), czyli sprzeczność z założeniem. Skoro zaś założenie było fałszywe, to znaczy, że na przekątnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) stoi jedna i ta sama liczba, to zaś oznacza tezę.

Q.
misinho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 5 lis 2010, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie
Podziękował: 1 raz

Zadanie z macierza jednostkowa

Post autor: misinho »

Czy teza nie byłaby prawdziwa, gdyby osłabić założenie do postaci: dla dowolnej odwracalnej macierzy B?

EDIT: To jest równoważne temu, że jedyną macierzą podobną do A jest A. Potrafię pokazać, że wtedy A ma wszystkie wyrazy na przekątnej równe, ale nie umiem pokazać, że reszta jest zerem.
ODPOWIEDZ