Obliczyc macierze odwrotne macierzy...

[Mateusz9000]

witam mam taki o to problem z 3-ma macierzami
pierwsa

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}\)
pierwsza jest banalnie prosta... ale jezeli robimy to pokolei wg wzoru to zajmuje dlugo czasu.. wiec mam nadzieje ze ktos moze wpadnie na jakas "sprytna" krotka metode (np eliminujac 1/tworzyc0)

macierz 2
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&.....&1\\0&1&1&.....&1\\0&0&1&.....&1\\.&.&.&.&.\\0&0&0&.....&1\end{bmatrix}}\)
tutaj wyznacznik jest prosty ale jak "sprtynie" zamienic te macierz na odwrotna ??
Macierz 3
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&.....&n-1&n\\0&1&2&3&.....&n-2&n-1\\0&0&1&2&.....&n-3&n-2\\.&.&.&.&.&.&.\\0&0&0&0&.....&1&2\\0&0&0&0&.....&0&1\end{bmatrix}}\)

[ollie]

Sprytny sposób na odwracanie macierzy.
Załóżmy, że chcemy odwrócić macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&1\\3&3&2&0\\1&2&1&1\\3&4&2&1\end{array}\right]}\)
Stawiamy obok niej macierz jednostkową:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&1\\3&3&2&0\\1&2&1&1\\3&4&2&1\end{array}\right]
ft[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)
I operujemy wierszami lewej macierzy dotąd aż stanie się ona macierzą jednostkową - jednocześnie wykonując te same operacje na prawej macierzy, która w efekcie będzie macierzą "odwrotną".

Np.

Od wiersza 2 odejmujemy 3x wiersz 1:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&1\\0&3&-4&-3\\1&2&1&1\\3&4&2&1\end{array}\right]
ft[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\-3&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Od wiersza 3 odejmujemy wiersz 1:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&1\\0&3&-4&-3\\0&2&-1&0\\3&4&2&1\end{array}\right]
ft[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\-3&1&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Od wiersza 4 odejmujemy 3x wiersz 1:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&2&1\\0&3&-4&-3\\0&2&-1&0\\0&4&-4&-2\end{array}\right]
ft[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\-3&1&0&0\\-1&0&1&0\\-3&0&0&1\end{array}\right]}\)

I tak dalej dodajemy/odejmujemy kombinacje liniowe wierszy aż po lewo będzie macierz jednostkowa.

UWAGA: Nie sprawdzałam, czy macierz z mojego przykładu jest odwracalna! Chodziło tylko o zademonstrowanie metody.

[Mateusz9000]

ok ale jak to wykorzystac do przykladu nr 2 i 3 ??

[ollie]

Odwróć macierz 4x4 i zauważ, że macierz odwrotna będzie "regularna" w podobny sposób jak macierz wyjściowa.