Dane są liczby zespolone a i b. Niech X oznacza zbiór wszystkich ciągów zespolonych \(\displaystyle{ x_n , n=0, n }\) spełniających zależność rekurencyjną: \(\displaystyle{ x_(n+2)= ax_n +bx_(n+1)}\)
a)Dodawanie ciągów i mnożenie ciągu przez liczbę zespoloną określone są
za pomocą wzorów:
\(\displaystyle{ (x_n)_n + (y_n)_n = (x_n + y_n)_n, (x_n)_n = ( x_n)_n}\).
Z tak zadanymi działaniami dodawania i mnożenia przez skalar X jest
przestrzenią liniową nad C. Określ wymiar tej przestrzeni.
b)Załóżmy, że \(\displaystyle{ b^2 + 4a 0.}\) Pokaż, że wówczas X ma bazę złożoną z ciągów
geometrycznych
c)Załóżmy, że \(\displaystyle{ b^2 + 4a 0.}\) Pokaż, że wówczas X ma bazę złożoną z ciągów \(\displaystyle{ ( z^n), (nz^n)}\) gdzie z jest pewną liczbą zespoloną.
d) Wykorzystując punkty b) i c), znajdź jawne wzory na n-te wyrazy
ciągów
\(\displaystyle{ x_n : x_0 = 0 , x_1 = 1, x_(n+2) = x_(n+1) + x_n}\)
\(\displaystyle{ y_n : y_0 = 1, y_1 = i, y_(n+2) = iy_(n+1) + \frac{1}{4} y_n}\)