Wyznacznik - dowód

[thermaltake]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1+x_{1}y_{1}&1+x_{1}y_{2}&...&1+x_{1}y_{n}\\1+x_{2}y_{1}&1+x_{2}y_{2}&...&1+x_{2}y_{n}\\...&...&..&....\\1+x_{n}y_{1}&1+x_{n}y_{2}&...&1+x_{n}y_{n}\end{array}\right]}\)

Udowodnij, że det macierzy dla \(\displaystyle{ n \geqslant 2}\) wynosi 0

[Mariusz M]

Próbowałeś sprawdzic indukcyjnie czy wybrany wiersz/kolumna jest kombinacją liniową innych wierszy/kolumn

[thermaltake]

Próbowałeś sprawdzic indukcyjnie czy wybrany wiersz/kolumna jest kombinacją liniową innych wierszy/kolumn

Tą metodą nie próbowałem, ponieważ nie wiem dokładnie jak ją zastosować. Próbowałem działać wierszami i kolumnami, lecz nie doszedłem do nieczego konkretnego.

[luka52]

Przecież dla \(\displaystyle{ n=2}\) jest:

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cc} 1 + x_1 y_1 & 1 + x_1 y_2 \\ 1 + x_2 y_1 & 1 + x_2 y_2 \end{array} \right| = (x_1 - x_2)(y_1 - y_2) \not\equiv 0}\)

[thermaltake]

Przecież dla \(\displaystyle{ n=2}\) jest:

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cc} 1 + x_1 y_1 & 1 + x_1 y_2 \\ 1 + x_2 y_1 & 1 + x_2 y_2 \end{array} \right| = (x_1 - x_2)(y_1 - y_2) \not\equiv 0}\)

Zadanie jest prawidłowo zapisane. Operujemy na niewiadomych takze jakies sensowne rozwiazanie powinno istniec

[luka52]

Zadanie jest prawidłowo zapisane.

Niestety nie jest. Poprawnie byłoby, gdybyś zapisał ,,(...) dla n>2 (...)'.

Mając dany ten wyznacznik wystarczy odjąć od pierwszego wiersza wiersz drugi, następnie od drugiego wiersz trzeci:

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cccc} y_1 (x_1 - x_2 ) & y_2 ( x_1 - x_2 ) & \ldots & y_n ( x_1 - x_2 ) \\
y_1 (x_2 - x_3 ) & y_2 ( x_2 - x_3 ) & \ldots & y_n ( x_2 - x_3 ) \\
1 + x_3 y_1 & 1 + x_3 y_2 & \ldots & 1 + x_3 y_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 + x_n y_1 & 1 + x_n y_2 & \ldots & 1 + x_n y_n \end{array} \right|}\)

Stąd już chyba widać jaka będzie wartość wyznacznika

Inny sposób:
podstawmy \(\displaystyle{ 1+x_i y_j = a_i b_j}\). Nasza macierz ma teraz postać:

\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \ldots & a_1 b_n \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & \ldots & a_2 b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 & \ldots & a_n b_n \end{array} \right) = A^T B}\)

gdzie \(\displaystyle{ A = (a_1, a_2, \ldots, a_n), \; B = (b_1, b_2, \ldots, b_n)}\). Ponadto \(\displaystyle{ \text{rz}\, A^T = \text{rz}\, B = 1}\) oraz \(\displaystyle{ \text{rz} \, (A^T B ) q \min \{ \text{rz}\, A^T , \text{rz}\, B \} = 1 < n}\), co pociąga za sobą fakt, że \(\displaystyle{ \det (A^T B ) = 0}\).

[thermaltake]

Dziękuje za odpowiedź. Odnośnie treść zapewne pani profesor popełniła błąd.

[luka52]

Heh właściwie to ten drugi sposób jest błędny, bo wynika z niego, że dla \(\displaystyle{ n=2}\) teza też mogłaby być prawdziwa, a w ogólności tak nie jest.

Powinno być:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 + x_1 y_1 & 1 + x_1 y_2 & \ldots & 1 + x_1 y_n \\
1 + x_2 y_1 & 1 + x_2 y_2 & \ldots & 1 + x_2 y_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 + x_n y_1 & 1 + x_n y_2 & \ldots & 1 + x_n y_n \end{pmatrix} = \\
\; \\
\underbrace{\begin{pmatrix} x_1 y_1 & x_1 y_2 & \ldots & x_1 y_n \\
x_2 y_1 & x_2 y_2 & \ldots & x_2 y_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_n y_1 & x_n y_2 & \ldots & x_n y_n \end{pmatrix}}_{X^T Y} +
\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\
1 & 1 & \ldots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \ldots & 1 \end{pmatrix}}_{C}}\)

I teraz już poprawnie: \(\displaystyle{ \text{rz}\, (X^T Y + C ) \text{rz} \, (X^T Y ) + \text{rz} \, C \min \{ \text{rz} \, X^T , \text{rz} \, Y \} + 1 = 2 < n}\). Czyli \(\displaystyle{ \det (X^T Y + C ) = 0}\).

[thermaltake]

I teraz już poprawnie: \(\displaystyle{ \text{rz}\, (X^T Y + C ) \text{rz} \, (X^T Y ) + \text{rz} \, C \min \{ \text{rz} \, X^T , \text{rz} \, Y \} + 1 = 2 < n}\). Czyli \(\displaystyle{ \det (X^T Y + C ) = 0}\).[/quote]

Czy mógłbyś to troszkę dokładniej wytłumaczyć?

[luka52]

Macierze \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ (x_1, x_2, \ldots, x_n)}\) i \(\displaystyle{ (y_1, y_2, \ldots, y_n)}\). I teraz dla dowolnych macierzy \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \text{rz}\,(E+F) \le \text{rz} E + \text{rz} F}\) - stąd pierwsza nierówność \(\displaystyle{ \text{rz} (X^T Y + C) \le \text{rz} (X^T Y) + \text{rz} C}\).
Kolejna nierówność to wykorzystanie nierówności \(\displaystyle{ \text{rz} (E F) \le \min \{\text{rz} E, \text{rz} F \}}\) oraz faktu, że \(\displaystyle{ \text{rz} C = 1}\).
Mamy już zatem: \(\displaystyle{ \text{rz} (X^T Y + C) \le \min \{\text{rz} X^T, \text{rz} Y \} + 1}\). Rząd macierzy \(\displaystyle{ X^T}\) jak i \(\displaystyle{ Y}\) to jeden, zatem \(\displaystyle{ \text{rz} (X^T Y + C) \le 2}\). Ponieważ jednak wyznacznik macierzy z treści zadania jest stopnia \(\displaystyle{ n > 2}\) i rząd tejże macierzy jest mniejszy bądź równy 2 (co jest mniejszą liczbą od stopnia wyznacznika), stąd wyznacznik musi się zerować.

[Wasilewski]

Jak można udowodnić tę nierówność: \(\displaystyle{ rz(A+B) \le rzA + rzB}\)?