Witam. Mam takie zadanie, co do którego mam pewne wątpliwości (jest banalne, ale jednak zaczynam dopiero to rozumieć )
Opisać rozmaitość liniową M
\(\displaystyle{ M=\{x R^4: \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ 2x_{1} \ \ \ \ \ -x_{3} \ \ \ \ \ \ \ =2 \end{cases}}\)
Najlepiej krok po kroku... z góry dziękuję
Wynik który mam w skrypcie to
\(\displaystyle{ \left[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \right] = ft[ 1+a, -7a-b, 2a, b\right]}\)
I nie za bardzo wiem skąd ;]
opisać rozmaitość liniową
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
opisać rozmaitość liniową
Po pierwsze ustalasz wymier tej, hmm... rozmaitosci... czyli przestrzeni afinicznej rozwiazan tego ukladu rownan.
Ten wymiar jest rowny wymiarowi jadra macierzy (pomijam sprawdzenie, czy uklad jest niesprzeczny, bo to bedzie oczywiste nieco pozniej):
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&0&-1&0\end{pmatrix}}\)
czyli wymiar calej przestrzeni, rowny \(\displaystyle{ 4}\), minus ranga tej macierzy, ktora wynosi \(\displaystyle{ 2}\). To ostatnie widzimy np. z uzyciem minora tej macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}}\),
ktory ma niezerowy wyznacznik.
Zatem ta rozmaitosc jest wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). Co wiecej mozna ja sparametryzowac dwoma parametrami \(\displaystyle{ a=x_3}\), \(\displaystyle{ b=x_4}\).
Pozostaje wiec wyznaczyc te parametryzacje, czyli rozwiazac uklad rownan z dwoma parametrami:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ccccc}x_1+&x_2&+a&+b&=1\\2x_1&&-a&&=2\end{array}\right.}\)
Rozwiazanie bedzie zalezalo od tych parametrow i to wlasnie bedzie szukana reprezentacja. Moze ona sie nieco roznic od tej podanej w odpowiedzi (z wygladu tylko), bo zalezy ona od wyboru wektorow bazowych rozpinajacych rozwiazanie ukladu jednorodnego.
Ten wymiar jest rowny wymiarowi jadra macierzy (pomijam sprawdzenie, czy uklad jest niesprzeczny, bo to bedzie oczywiste nieco pozniej):
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&0&-1&0\end{pmatrix}}\)
czyli wymiar calej przestrzeni, rowny \(\displaystyle{ 4}\), minus ranga tej macierzy, ktora wynosi \(\displaystyle{ 2}\). To ostatnie widzimy np. z uzyciem minora tej macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}}\),
ktory ma niezerowy wyznacznik.
Zatem ta rozmaitosc jest wymiaru \(\displaystyle{ 2}\). Co wiecej mozna ja sparametryzowac dwoma parametrami \(\displaystyle{ a=x_3}\), \(\displaystyle{ b=x_4}\).
Pozostaje wiec wyznaczyc te parametryzacje, czyli rozwiazac uklad rownan z dwoma parametrami:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ccccc}x_1+&x_2&+a&+b&=1\\2x_1&&-a&&=2\end{array}\right.}\)
Rozwiazanie bedzie zalezalo od tych parametrow i to wlasnie bedzie szukana reprezentacja. Moze ona sie nieco roznic od tej podanej w odpowiedzi (z wygladu tylko), bo zalezy ona od wyboru wektorow bazowych rozpinajacych rozwiazanie ukladu jednorodnego.