Układ równań

misianiolek · Post autor: **misianiolek** » 19 lis 2008, o 18:19

Jak to rozwiązać??

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x-3y-z=2 \\2x+2y-2z=8\\x-3y+z=4 \end{array}}$

Wicio · Post autor: **Wicio** » 19 lis 2008, o 18:24

Weź pierwsze i trzecie równanie w układ dwóch równań(czyli narazie pomiń środkowe równanie). Pomnóż pierwsze równanie przez minus jeden. A następnie metodą przeciwnych współczynników zsumuj z trzecim. I Ci się x i y skróci i będziesz miałą samo z , któe obliczysz.A potem popodstawiać do reszty i wziąć dwa równania i wyliczyć x i y

misianiolek · Post autor: **misianiolek** » 19 lis 2008, o 20:47

no właśnie o to chodzi,że ja takim sposobem jeszcze nigdy nie rozwiązywałam na wykładach też tak nie miałam, jest inny sposób??

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 20 lis 2008, o 12:33

misianiolek pisze:Jak to rozwiązać??

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x-3y-z=2 \\2x+2y-2z=8\\x-3y+z=4 \end{array}}$

Możesz rozwiązać na 3 sposoby

1. metoda eliminacji Gaussa - wpisujesz układ równań w macierz rozszerzoną o kolumnę składającą się z wyników i wykonyjesz przekształcenia elementarne tak aby macierz główną doprowadzić do postaci jednostkowej a w części rozszerzonej otrzymujesz wynik

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1$ -3 $-1 ft|2\\2$ 2 $-2 ft|8\\1$ $-3$ 1 ft|4\end{array} \right]}$ wiersz 1 *(-2) dodac do w2, w1*(-1) dodac do w3

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1$ -3 $-1 ft|2\\0$ 8 $0 ft|4\\0$ 0 $2 ft|2\end{array} \right]}$ w2 * (1/8), w3 * (1/2)

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1$ -3 $-1 ft|2\\0$ 1 $0 ft| \frac{1}{2} \\0$ 0 $1 ft|1\end{array} \right]}$ w2 * 3 dodac do w1

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1$ 0 $-1 ft| \frac{7}{2} \\0$ 1 $0 ft| \frac{1}{2} \\0$ 0 $1 ft|1\end{array} \right]}$ w3 dodać do w1

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1$ 0 $0 ft| \frac{9}{2} \\0$ 1 $0 ft| \frac{1}{2} \\0$ 0 $1 ft|1\end{array} \right]}$

$\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{9}{2}\\y= \frac{1}{2}\\z=1 \end{cases}}$

2. Wzory Cramera
liczysz wyznaczkik macierzy głównej detA musi być rózny od 0
następnie liczysz wyznaczniki macierzy pomocniczych (zastepując poszczególna kolumne kolumna wyników a nastepnie podstawiasz do wzoru
$\displaystyle{ x_{i}= \frac{detA_{i}}{detA}}$

wyznacznik macierzy głownej
$\displaystyle{ detA=\left[\begin{array}{cccc}1$ -3 $-1\\2$ 2 $-2\\1$ $-3$ 1\end{array} \right] = 16}$

wyznaczniki macierzy pomocniczych
$\displaystyle{ detA_{x}=\left[\begin{array}{cccc}2$ -3 $-1\\8$ 2 $-2\\4$ $-3$ 1\end{array} \right] = 72}$

$\displaystyle{ detA_{y}=\left[\begin{array}{cccc}1$ 2 $-1\\2$ 8 $-2\\1$ 4 $1\end{array} \right] = 8}$

$\displaystyle{ detA_{z}=\left[\begin{array}{cccc}1$ -3 $2\\2$ 2 $8\\1$ $-3$ 4\end{array} \right] = 16}$

$\displaystyle{ x= \frac{detA_{x}}{detA}= \frac{72}{16}= \frac{9}{2}}$

$\displaystyle{ y= \frac{detA_{y}}{detA}= \frac{8}{16}= \frac{1}{2}}$

$\displaystyle{ z= \frac{detA_{z}}{detA}= \frac{16}{16}= 1}$

3. metoda macierzy odwrotnej

liczyysz macierz odwrotną dowolna metodą i mnozysz przez macierz z kolumny wyników (b)

$\displaystyle{ A^{-1}*b= x,y,z}$

macierz odwrotna
$\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{2}$\\- \frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$ 0\\- \frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$\end{array}\right] * ft[\begin{array}{ccc}2\\ 8\\ 4\end{array} \right]=\left[\begin{array}{ccc} \frac{9}{2}\\ \frac{1}{2}\\1\end{array} \right]}$

misianiolek · Post autor: **misianiolek** » 20 lis 2008, o 20:52

skąd mamy takie liczby w macierzy odwrotnej mi wychodzą zupełnie inne jak obliczyć tą macierz tym 3 sposobem!

agulka1987 · Post autor: **agulka1987** » 21 lis 2008, o 10:46

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1$ -3 $-1 ft|1$ 0 $0\\2$ 2 $-2 ft|0$ 1 $0\\1$ $-3$ 1 ft|0$ 0 $1 \end{array} \right]}$ w1*(-2) dodać do w2, w1*(-1) dodac do w3

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1$ -3 -1 ft|1$ 0 $0\\0$ 8 $0 ft|-2$ 1 $0\\0$ 0 $2 ft|-1$ 0 $1 \end{array} \right]}$ w2 *(1/8), w3*(1/2)

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1$ -3 -1 ft|1$ 0 $0\\0$ 1 $0 ft|- \frac{1}{4} $ $\frac{1}{8}$ 0\\0$ 0 $1 ft|- \frac{1}{2} $ 1 $\frac{1}{2}\end{array} \right]}$ w2 *(3) dodac do w1

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1$ 0 -1 ft| \frac{1}{4}$ $\frac{3}{8}$ 0\\0$ 1 $0 ft|- \frac{1}{4} $ $\frac{1}{8}$ 0\\0$ 0 $1 ft|- \frac{1}{2} $ 1 $\frac{1}{2}\end{array} \right]}$ w3 dodac do w1

$\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1$ 0 $0 ft| -\frac{1}{4}$ $\frac{3}{8}$ $ \frac{1}{2} \\0$ 1 $0 ft|- \frac{1}{4} $ $\frac{1}{8}$ 0\\0$ 0 $1 ft|- \frac{1}{2} $ 1 $\frac{1}{2}\end{array} \right]}$