styczne do elipsy

[pat_asdf_pat]

znaleźć równania stycznych do elipsy 4 \(\displaystyle{ x^{2}+ 5y^{2}=1}\)
które są prostopadłe do prostej \(\displaystyle{ 2x +y=0}\)

[JankoS]

Mozna tak.
Prosta prostopadła do danej ma równanie \(\displaystyle{ x-2y+k=0.}\)
Szukamy takich wartości k, dla których układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+k=0\\4x^{2}+ 5y^{2}=1\end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie.

[sbtm]

rownanie stycznej do elipsy w pkt P(p,q)
\(\displaystyle{ \frac{xp}{a}+ \frac{yq}{b}=1}\)
w naszym przypadku:
\(\displaystyle{ 4xp+5yq=1}\)
wiec:
\(\displaystyle{ y= - \frac{4px}{5q}+ \frac{1}{5q}}\)
prosta prostopadla do \(\displaystyle{ y=-2x}\) ma postac \(\displaystyle{ y=0,5x+b}\)
porownujemy wspolczynniki przy x.. i otrzymujemy rownanie
\(\displaystyle{ - \frac{4p}{5q}= \frac{1}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ q= - \frac{8p}{5}}\)

wiec pkt wtycznosci ma wspolrzedne \(\displaystyle{ P(p,- \frac{8p}{5})}\)
podstawiamy te pkt do rownania elipsy:
\(\displaystyle{ \frac{ x^{2}}{a}+ \frac{y^{2}}{b}=1}\)
i otrzymamy rownanie z jedna niewiadoma p..
dzieki niej poznamy druga wspolrzedna.. a jak tak sie stanie to wystarczy podstawic do rownania prostej i koniec.. otrzymamy dwie proste bedace rozwiazaniem zadania..

mam nadzieje ze pomoglem ;]

[ Dodano: 16 Listopada 2008, 13:42 ]
infobot.pl/r/TeZ

to inny sposob na rozwiazanie..(zad 5) musisz adres skopiowac bo nie mam jeszcze 10 postow i nie moge linkow wystawiac.....