Przekształcenia liniowe

[lukis1989]

Mam problem z takimi 2 zadankami. Proszę o pomoc.

1. Przekształcenie \(\displaystyle{ R ^{2}}\)-->\(\displaystyle{ R ^{3}}\) jest liniowe i h(-1,1)=(1,0,1), h(1,0)=(0,1,-1). Oblicz h(x).

2. Sprawdzic, które z przekształcen jest liniowe:
a) L : \(\displaystyle{ R ^{3}}\) ---> R, L(x, y, z) = \(\displaystyle{ x^{2}}\) + yz,
b) L : \(\displaystyle{ R ^{2}}\) ---> \(\displaystyle{ R ^{3}}\), L(x, y) = (−1,−x − 2y, 0).

Za wszelką pomoc serdecznie dziękuję.

[scyth]

1.
\(\displaystyle{ h(0,1)=h(-1,1)+h(1,0)=(1,0,1)+(0,1,-1)=(1,1,0) \\
x=(x_1,x_2) \\
h(x_1,x_2)=x_1h(1,0)+x_2h(0,1)=(0,x_1,-x_1)+(x_2,x_2,0)=\\=(x_2,x_1+x_2,-x_1)}\)

2.
żadne - wystarczy sprawdzić dla mnożenia przez skalar.

[lukis1989]

2.
żadne - wystarczy sprawdzić dla mnożenia przez skalar.

Dobrze, ale proszę mi powiedzieć jak to się robi. Mam wiele tego typu przykłdów i nie wiem jak to sie sprawdza.

[scyth]

Ma być:
\(\displaystyle{ L(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = \lambda L(x,y,z)}\)
I tak na przykład w pierwszym przypadku:
\(\displaystyle{ L(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = (\lambda x)^2 + \lambda y \lambda z = \lambda^2 x^2 + \lambda^2 yz = \lambda^2 (x^2+yz) = \lambda^2 L(x,y,z)}\)
a więc nie jest to przekształcenie liniowe.

[lukis1989]

A z ka się wzieło w rozwiązaniu 1 zadania takie coś: h(0,1)=h(-1,1)+h(1,0)?????
Dlczego właśnie h(0,1)???

[scyth]

bo (1,0) i (0,1) to najprostsza baza. A to równanie wynika z liniowości przekształcenia \(\displaystyle{ h}\) (\(\displaystyle{ h}\) - liniowe, wtedy \(\displaystyle{ h(a+b)=h(a)+h(b)}\)).

[lukis1989]

Mam jeszcze jedno pytanko i obiecuje już ze to ostatnie.
1. Wyznaczyc macierz przekształcenia liniowego L, jesli:
a) a) L(1, 1) = (1, 1), L(1,−1) = (3,−3);

Czy dobrze to rozwiązałem?

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1&1&\\1&-1&\end{array}\right|}\) * \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}a&b&\\c&-d&\end{array}\right|}\) = \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}1&1&\\3&-3&\end{array}\right|}\)

[scyth]

nie,
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right] = [1,1] \\
\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \right] = [3,-3] \\
\begin{cases}
a+b=1\\
c+d=1\\
a-b=3\\
c-d=-3
\end{cases}}\)
Stąd ta macierz jest postaci: \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
-1 & 2
\end{array} \right]}\).

[lukis1989]

Tylko zauważ, że to wychodzi to samo

[scyth]

nie to samo, mnożenie macierzy nie jest przemienne