czy nastęujące zbiory tworzą zbiory generujące przestrzeń?

[lotta666]

Hej. Mam problem z zadaniem. Nie wiem jakie warunki muszą spełnić podane wektory , by generowały R ^{3}

(1,2,3) (-1,0,1) (0,1,2) Mógłby ktoś to rozwiązać w całości?

[JankoS]

Hej. Mam problem z zadaniem. Nie wiem jakie warunki muszą spełnić podane wektory , by generowały R ^{3}

(1,2,3) (-1,0,1) (0,1,2) Mógłby ktoś to rozwiązać w całości?

Te wektory nie generują \(\displaystyle{ R^3,}\) bo są liniowo zależne. Łatwo można to sprawdzić licząc wyznacznik z nich utworzony lub z definicji. Zrobię to drugie.
\(\displaystyle{ a(1,2,3) +b(-1,0,1)+c (0,1,2)=(a-b, \ 2a+c, \ 3a+b+2c)=0 }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-b=0\\2a+c=0\\3a+b+2c=0\end{cases}}\)
Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci \(\displaystyle{ (a, \ -a, \ -2a), \ a R.}\) Wektory są liniowo zależne. Za ich pomocą ne można przedstawić każdego wektora z \(\displaystyle{ R^3,}\) np.: (1 ,-1, 100).