Czy dane zbiory (wektory) sa podprzestrzenią

[Frey]

Mam dość dziwne zadanie, określić czy dane zbiory są podprzestrzenią \(\displaystyle{ R ^{4}}\) dla
\(\displaystyle{ a,b R}\). Z tego co mi wiadomo, wystarczy, że zbiory te nie są puste oraz działają w nich aksjomaty ciała.

\(\displaystyle{ 1) {(ab,a,0,0)} \\
2) {( ft|a \right| ,0,0,0)} \\
3) {(a+2b,2a+b+1,a+b+1,a)} \\
4) {(a+2b,2a+b,a+b,a)} \\
5) {(a ^{3} ,0,0,0)} \\}\)
ad.1 Jest podprzestrzenią, ma wektor przeciwny i działają aksjomaty.
ad.2 Nie jest podprzestrzenią, gdyż nie będzie elementu przeciwnego.
ad.3 Tutaj nie jestem pewien ale wydaje mi się, że to też nie będzie pod przestrzeń, gdyż też nie będzie elementów przeciwnych np. dla a=2 i b=1 nie znajdzie się wektora przeciwnego(chyba).
ad.4 Jest podprzestrzenią, ma wektor przeciwny i działają aksjomaty.
ad.5 Jest podprzestrzenią, ma wektor przeciwny i działają aksjomaty.

To tylko o to chodzi? Dobrze to rozumuję, że do wektory 1,4,5 można mnożyć przez skalary bez problemu, dodawać do nich inne wektory, czyli są podprzestrzenią?

[Crizz]

Podprzestrzenią danej przestrzeni jest podzbiór wektorów tej przestrzeni, który jest domknięty ze względu na dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar. W każdym przypadku musisz stwierdzić, czy suma dwóch wektorów danego zbioru też należy do tego zbioru i czy iloczyn danego wektora przez skalar jest elementem tego zbioru.

[ Dodano: 2 Listopada 2008, 21:58 ]
3 rzeczywiście nie jest podprzestrzenią, bo układ równań \(\displaystyle{ (a_{1}+2b_{1},2a_{1}+b_{1}+1,a_{1}+b_{1}+1,a_{1})=(ka+2kb,2ka+kb+k,ka+kb+1,ka)}\) dla większości k (a chyba nawet dla wszystkich) jest sprzeczny.

[Frey]

ok dzięki, czyli mam dobra intuicję i mniej więcej wiem o co chodzi