Metoda eliminacji Gaussa dla dowolnych układów równań

[Onyx]

Mamy rozwiązać układ równań :

\(\displaystyle{ \begin {cases} x + y +z + t = 1 \\
2x - y + z - t = 0 \\
4x + y + 3z + t = 2 \end
{cases}}\)

Następnie konstruujemy macierz \(\displaystyle{ [A|B]}\) :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&1\\2&-1&1&-1&0\\4&1&3&1&2\end{array}\right]}\)

UWAGA: Przed ostatnią kolumną powinna być pionowa kreska przez całą macierz, ale niestety nie można tego wygenerować lateksem.

Udało mi się macierz trochę uprościć stosując dozwolone operacje na wierszach jednak nie wiem co dalej. Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego układu równań. Jeśli chodzi o operacje na wierszach to najpierw zrobiłem przekształcenie \(\displaystyle{ w_{3} - 2w_{1}}\). Później zredukowałem wiersz \(\displaystyle{ w_{3}}\), ponieważ był proporcjonalny do wiersza \(\displaystyle{ w_{2}}\). Powstała z tego taka macierz :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&1&1\\2&-1&1&-1&0\end{array}\right]}\)

[soku11]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c}
1&1&1&1&1\\
2&-1&1&-1&0\\
4&1&3&1&2\end{array}\right]\;\Rightarrow\;
\left[\begin{array}{cccc|c}
1&1&1&1&1\\
0&-3&-1&-3&-2\\
0&-3&-1&-3&-2\end{array}\right]\;\Rightarrow\;
\left[\begin{array}{cccc|c}
1&1&1&1&1\\
0&-3&-1&-3&-2\end{array}\right]\;\Rightarrow\;
\left[\begin{array}{cccc|c}
1&-2&0&-2&-1\\
0&-3&-1&-3&-2\end{array}\right]\\}\)

4 zmienne - 2 rownania => nieskocznienie wiele odpowiedz zaleznych od dwoch parametrow, wiec (wybieram je jako y,z):
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x-2y-2z=-1\\
-3y-z-3t=-2\end{cases}\\
\begin{cases}
x=-1+2y+2z\\
-3t=-2+3y+z\end{cases}\\
\begin{cases}
x=-1+2y+2z\\
t=\frac{2}{3}-y-\frac{1}{3}z\end{cases}\\}\)


Pozdrawiam