styczne

[pat_asdf_pat]

znaleźć równanie stycznej do okręgu x^2 + y^2 = 25
a) przechodzącej przez punkt (-5,10)
b) równoległej do prostej x - y - 4 = 0
c) prostopadłej do prostej x + 2y = 0

[N4RQ5]

prosta styczna do okręgu musi być prostopadła do promienia okręgu wystawionego w punkcie styczności.
Nasz okrąg jest umiejscowiony w środku układu współrzędnych to też wektor promienia w punkcie (x, y) należącym do tego okręgu będzie miał też współrzędne (x, y).

1) Szukając stycznej przechodzącej przez punk (-5, 10) szukamy tak naprawdę punktu z okręgu będącego punktem styczności. Aby tak było musi on spełniać dwa równania. Jedno na należenie do okręgu:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=25}\)
a drugie na prostopadłość promienia i wektora zaczepionego w (x, y) sięgającego do (-5, 10)
\(\displaystyle{ x (x+5)+y(y-10)=0 \\
x^2+5x+y^2-10y=0 \\
(x^2+y^2)+5x-10y=0 \\
25+5x-10y=0 \\
5x=10y-25 \\
x = 2y-5}\)
I podstawiając to do pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ (2y-5)^2+y^2=25 \\
4y^2 -20y +25 + y^2 =25 \\
5y^2 - 20y=0 \\
y^2-4y=0 \\
y(y-4)=0}\)
Dostajesz dwa punkty styczności: (-5,0) oraz (3,4) wyznaczające razem z danym punktem (-5,10) twoje styczne.