Macierze, macierze odwrotne, wykazywanie

[bulka07]

1. Mam problem z wykazaniem że:
a) \(\displaystyle{ \left(A^{-1}\right) ^{-1}=A}\)
oraz
b) \(\displaystyle{ \left(AB^{-1}\right)=B^{-1}A^{-1}}\)

Jakich rozmiarów muszą być macierze aby powyższe działania byly wykonalne?

2. Jaki warunek muszą spełniać macierze A, B aby:
\(\displaystyle{ A^{2}-B^{2}=\left(A-B\right)\left(A+B\right)}\)

3. oraz chciałam się upewnić bo wydaje mi się że ta macierz nie ma macierzy odwrotnej, prawda?!
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&0&0\end{array}\right]}\)

[tail]

3. Prawda, jej wyznacznik się zeruje, bo jedna z kolumn jest liniową kombinacją pozostałych.

[Qń]

Ad 1.
Z definicji jest \(\displaystyle{ Y=X^{-1}}\), jeśli \(\displaystyle{ XY=I}\). Stąd:
a) \(\displaystyle{ A^{-1}A=I}\), więc \(\displaystyle{ \left( A^{-1}\right)^{-1}}\)
b) \(\displaystyle{ \left( AB \right) \left(B^{-1}A^{-1} \right)=I}\), więc \(\displaystyle{ \left( AB \right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}}\)

Wszystkie macierze muszą być kwadratowe, a dodatkowo w b) \(\displaystyle{ A,B}\) muszą mieć ten sam rozmiar.

Ad 2.
Musi być \(\displaystyle{ AB=BA}\)

Ad 3.
Nie ma macierzy odwrotnej, bo macierze odwrotne istnieją wyłącznie dla macierzy kwadratowych i nieosobliwych.

Q.