Problemy z macierzami

[Palit90]

Witam

Mam dwa problemy w zadaniach związane z Algebrą macierzy, a konkretnie problem ze zrozumieniem gotowych rozwiązań

1. Na początku zadania mamy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\end{array}\right]\ast\left[\begin{array}{ccc}0&1\\2&1\\1&0\end{array}\right]x = ft[\begin{array}{ccc}2&2\\1&2\end{array}\right]}\)

następnie:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2\\2&1\end{array}\right]x = ft[\begin{array}{ccc}2&2\\1&2\end{array}\right]}\)
i tutaj niestety mam problem - chciałbym się dowiedzieć dlaczego nagle wskoczyła macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2\\2&1\end{array}\right]}\)koło "X"

2. W trakcie innego zadania wyglądającego w pewnym kroku następująco:
\(\displaystyle{ Y - ft[\begin{array}{ccc}2&0\\0&2\end{array}\right] \ast Y = ft[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&0\end{array}\right]}\)
następuje:
\(\displaystyle{ Y - 2Y = ft[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&0\end{array}\right]}\)
tutaj również nie wiem dlaczego tak się zamieniło Czy mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?

Pozdrawiam

[wb]

W 1. macierze zostały wymnożone. To co stoi "koło X" jest wynikiem tego mnożenia macierzy.

[ Dodano: 25 Października 2008, 21:40 ]
2.
\(\displaystyle{ Y - ft[\begin{array}{ccc}2&0\\0&2\end{array}\right] \ast Y = ft[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&0\end{array}\right] \\ Y -2 ft[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \ast Y = ft[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&0\end{array}\right] \\ Y -2 I Y = ft[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&0\end{array}\right] \\ Y -2 Y = ft[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&0\end{array}\right]}\)

[Palit90]

dziękuję

mam tylko jeszcze jedno pytanie - do pkt. 2, w trzeciej linijce pojawiło się koło 2, znak "I" - dlaczego?

Pozdrawiam

[wb]

Jest to symbol macierzy jednostkowej, której iloczyn z Y daje Y.

[Palit90]

Witam ponownie
Mam jeszcze kilka pytań, tworzenie nowych tematów chyba nie ma sensu, a chciałbym je w pełni zrozumieć.

1)
Mamy taki początek zadania
\(\displaystyle{ \begin{cases} X + ft[\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&3\end{array}\right]\ast Y = ft[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\

ft[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ast X + Y = ft[\begin{array}{ccc}2&1\\1&1\end{array}\right] \end{cases}}\)
chciałbym się dowiedzieć dlaczego pierwszą linijkę musimy pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ (-\left[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ )}\) ?

W dalszym ciągu wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\left[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ \ast X -\left[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ \ast ft[\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&3\end{array}\right]\ast Y = -\left[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ \ast ft[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\

ft[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ast X + Y = ft[\begin{array}{ccc}2&1\\1&1\end{array}\right] \end{cases}}\)

i teraz nie mogę dojść do wniosku dlaczego w dalszym ciągu zadania pojawia się (chodzi o tego "Y" na początku):
\(\displaystyle{ Y -\left[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ \ast ft[\begin{array}{ccc}1&-1\\-1&3\end{array}\right]\ast Y = -\left[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ \ast ft[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\}\) sądzę, że jest to z podstawienia drugiej linijki w nawiasie zamieniając \(\displaystyle{ -\left[\begin{array}{ccc}3&1\\1&1\end{array}\right]\ \ast X}\) na \(\displaystyle{ Y}\) i tutaj nagle znika nie wiem dlaczego \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&1\end{array}\right]}\)

2)
Chciałbym również zapytać się do poniższego zadania w którym widzimy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2\\2&1\end{array}\right]\ \ast X = ft[\begin{array}{ccc}2&2\\1&2\end{array}\right]\}\)
gdzie dalsza część wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&2\\2&1\end{array}\right]\ \ast ft[\begin{array}{ccc}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{array}\right]\ = ft[\begin{array}{ccc}2&2\\1&2\end{array}\right]\}\)
czy dla \(\displaystyle{ X = ft[\begin{array}{ccc}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{array}\right]\}\) możemy od razu wywnioskować, że jest to \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1\\1&0\end{array}\right]\}\), czy musimy wykonać mnożenie macierzy ? Czy w takim przypadku, X będzie posiadać wartości wyłącznie 1 i 0 ?

Prosiłbym o zrozumiałe wytłumaczenie dla osoby słabo znającej się na matematyce ;(
Pozdrawiam

[wb]

1. Jest to rozwiązanie ukladu równań metodą przeciwnych współczynników, stąd to mnożenie pierwszej linijki. Następna czynność to dodawanie obu równań stronami. Po prawej stronie brakuje jednak tej macierzy, o której pisałeś, że nagle znikęła.

2. Jeśli widzisz jaki powinien być X to nie musisz mnożyć, jednak przy innych macierzach chyba nie będzie Ci tak łatwo, a wtedy to mnożenie jest konieczne.

[Palit90]

czyli odnośnie problemu pierwszego, zniknięcie wartości prawej strony w drugiej linijce w nawiasie jest błędem? Bo zadanie przepisywałem od znajomego i nie wiem czy zrobił je bezbłędnie

[wb]

Tak, macierz ta powinna znaleźć się po prawej stronie.