Policz norme funkcji \(\displaystyle{ \sin(kt),\cos(lt)}\) i iloczyn skalarny pomiędzy nimi w przestrzeni liniowej
\(\displaystyle{ C ^{1}(0, \pi)}\)od funkcji na interwale \(\displaystyle{ [0, \pi]}\) z iloczynem skalarnym
\(\displaystyle{ = \int_{\pi}^{0} f(t)g(t)dt}\)
\(\displaystyle{ k}\) oraz \(\displaystyle{ l}\) to liczby rzeczywiste. Gdy \(\displaystyle{ k=l=1}\) policz kąt pomiędzy \(\displaystyle{ \cos(t)}\) a \(\displaystyle{ \sin(t)}\)
Ja niestety nie rozumiem tutaj za bardzo treści zadania więc jak macie jakieś pytania to wiem tyle co wy:D
Policz norme funkcji...
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Policz norme funkcji...
\(\displaystyle{ \|\sin kt\|=\sqrt{\int_0^\pi\sin^2kt \;\mathrm{d}t}}\)
Liczyme wiec te calke:
\(\displaystyle{ I=\int_0^\pi\sin^2kt \;\mathrm{d}t=-\frac 1k\int_0^\pi\sin kt(\cos kt)' \mathrm{d}t=
-\frac 1k [\sin kt\cos kt]_0^\pi+\int_0^\pi\cos kt\cos kt \;\mathrm{d}t=\frac 1k[\sin 2kt]_0^\pi+\int_0^\pi\cos^2 kt \;\mathrm{d}t=\int_0^\pi\cos^2 kt \;\mathrm{d}t}\)
Skad
\(\displaystyle{ 2I+I+I=\int_0^\pi\sin^2kt \;\mathrm{d}t+\int_0^\pi\cos^2kt \;\mathrm{d}t=\int_0^\pi\mathrm{d}t=\pi}\)
Stad
\(\displaystyle{ \|\sin kt\|=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\)
Analogicznie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \|\cos kt\|=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\)
Stad latwo wyznaczamy kat, a dokladniej jego cosinus:
\(\displaystyle{ \mathbf{\mathrm{cos}} (\cos t,\sin t)=\frac{\langle\cos t,\sin t\rangle}{\|\cos t\|\|\sin t\|}=\frac{1}{\|\cos t\|\|\sin t\|}\int_0^\pi\cos t\sin t \mathrm{d}t=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{\pi}\cdot\frac 12\int_0^\pi2\cos t\sin t \;\mathrm{d}t=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin 2t \;\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi}}\)
Pewnie sa jakies bledy rachunkowe, ale idea sie zgadza, wiec mozna szybko doszlifowac.
Btw. Na ogol liczy sie te calki na przedziale \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\) i wtedy otrzymujemy
\(\displaystyle{ \|\sin x\|=\|\cos x\|=\pi}\)
\(\displaystyle{ \langle\sin mx,\sin nx\rangle=\left\{\begin{array}{ccc}\pi &\mathrm{gdy}&m=n\\0 &\mathrm{gdy}&m\neq n\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \langle\cos mx,\cos nx\rangle=\left\{\begin{array}{ccc}\pi &\mathrm{gdy}&m=n\\0 &\mathrm{gdy}&m\neq n\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \langle\sin mx,\cos nx\rangle=0}\)
Pisze to uprzedzajac kolejne pytania na ten temat, ktore w naturalny sposob moga niedlugo sie pojawic...
Liczyme wiec te calke:
\(\displaystyle{ I=\int_0^\pi\sin^2kt \;\mathrm{d}t=-\frac 1k\int_0^\pi\sin kt(\cos kt)' \mathrm{d}t=
-\frac 1k [\sin kt\cos kt]_0^\pi+\int_0^\pi\cos kt\cos kt \;\mathrm{d}t=\frac 1k[\sin 2kt]_0^\pi+\int_0^\pi\cos^2 kt \;\mathrm{d}t=\int_0^\pi\cos^2 kt \;\mathrm{d}t}\)
Skad
\(\displaystyle{ 2I+I+I=\int_0^\pi\sin^2kt \;\mathrm{d}t+\int_0^\pi\cos^2kt \;\mathrm{d}t=\int_0^\pi\mathrm{d}t=\pi}\)
Stad
\(\displaystyle{ \|\sin kt\|=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\)
Analogicznie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \|\cos kt\|=\sqrt{\frac{\pi}{2}}}\)
Stad latwo wyznaczamy kat, a dokladniej jego cosinus:
\(\displaystyle{ \mathbf{\mathrm{cos}} (\cos t,\sin t)=\frac{\langle\cos t,\sin t\rangle}{\|\cos t\|\|\sin t\|}=\frac{1}{\|\cos t\|\|\sin t\|}\int_0^\pi\cos t\sin t \mathrm{d}t=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{2}{\pi}\cdot\frac 12\int_0^\pi2\cos t\sin t \;\mathrm{d}t=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin 2t \;\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi}}\)
Pewnie sa jakies bledy rachunkowe, ale idea sie zgadza, wiec mozna szybko doszlifowac.
Btw. Na ogol liczy sie te calki na przedziale \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\) i wtedy otrzymujemy
\(\displaystyle{ \|\sin x\|=\|\cos x\|=\pi}\)
\(\displaystyle{ \langle\sin mx,\sin nx\rangle=\left\{\begin{array}{ccc}\pi &\mathrm{gdy}&m=n\\0 &\mathrm{gdy}&m\neq n\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \langle\cos mx,\cos nx\rangle=\left\{\begin{array}{ccc}\pi &\mathrm{gdy}&m=n\\0 &\mathrm{gdy}&m\neq n\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \langle\sin mx,\cos nx\rangle=0}\)
Pisze to uprzedzajac kolejne pytania na ten temat, ktore w naturalny sposob moga niedlugo sie pojawic...