Pokazać, że układy wektorów...

[chef]

Pokazać, że układy wektorów są liniowo niezależne w przestrzeni liniowej określonej w zdaniu:

\(\displaystyle{ a) f(x)=sinx, g(x)=cosx, h(x)=x}\)

\(\displaystyle{ b) f(x)=x, g(x)=1, h(x)=x^2 -1}\)


z gory dziekuje za pomoc

[Zlodiej]

Przykład a)

Mamy pokazać, że

\(\displaystyle{ a\sin{x}+b\cos{x}+cx=0\, \Longleftrightarrow\, a=b=c=0}\)

Ponieważ to ma zachodzić dla każdego x, możemy zrobić coś takiego:
Niech x=0, wtedy równość ma postać b=0. Teraz możemy sobie opuścić b.
Niech \(\displaystyle{ x=\Pi}\), wtedy równość ma postać \(\displaystyle{ c\Pi=0}\), czyli c=0. Opuszczamy c.
Wtedy \(\displaystyle{ a\sin{x}=0\, \Longleftrightarrow\, a=0}\)

Czyli a=b=c=0
Przykład b)

Mamy pokazać, że

\(\displaystyle{ ax+b+c(x^2-1)=0\, \Longleftrightarrow\, a=b=c=0}\)

\(\displaystyle{ x(cx+a)=c-b}\)

Jest takie coś, że jeżeli po lewej stronie mamy jakąś zmienną, a po prawej stałą to równość zachodzi wtedy gdy zmienna razy cos jest równa 0 i prawa strona jest równa 0.

Czyli cx+a=0 i c-b=0, czyli cx=-a i c=b, stosując to jeszcze raz mamy: c=0, -a=0, c=b=0 czyli: a=b=c=0.

Ewentualnie sposobem z przykładu a.

Niech x=0 wtedy b=c.
Niech x=1 wtedy a=-b
Niech x=-1 wtedy a=b
Czyli a=0=b=c.