Przestrzen macierzy 2x2. U-podzbiór, baza, wymiar

[trelek2]

Witam!

Mam maly problem z zadankiem. Pytanie brzmi który z ponizszych podzbiorów matryc 2x2 tworzy podprzestrzen (jest zamkniety, zachowuje operacje)? Jesli tak to skonstruuj baze U i wskaz wymiar U.
Mamy do rozpatrzenia 2 zbiory matryc:
Zbiór \(\displaystyle{ U _{1}}\) matryc symmetrycznych oraz zbiór \(\displaystyle{ U _{2}}\) matryc trójkatnych czyli dla matrycy ABCD C=0, A,D rózne=0.

Przepraszam ze to tak wyglada ale tu na uczelni nie da sie pisac z polskimi znakami oprócz Ó:D

Nie wiem czy zrozumiecie te pojecia. ja sam ich nie do konca rozumiem.
Wiem ze baza to podprzestrzeni to najwiekszy liniowo niezalezny zbiór wektorow z U.
Wymiar chyba musi byc 4- bo matryce sa 2x2 i wydaje mi sie ze w pierwszym przypadku sie da stworzyc baze a w drugim nie, ale nie wiem jak to udowodnic.

[Qń]

Po polsku raczej macierz, nie matryca ;>.

Jeśli \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), to \(\displaystyle{ U \subseteq V}\) jest jej podprzestrzenią liniową, jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ u,v \in U, \lambda , \gamma \in K}\) jest \(\displaystyle{ \lambda u+\gamma v \in U}\), czyli mówiąc po ludzku - jeśli jest zamknięta ze względu na kombinacje liniowe.

W obu przypadkach rzeczone podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi wymiaru trzy.

Jeśli mamy bowiem dwie macierzy symetryczne \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b \\ b&c\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}d&e \\ e&f\end{array}\right]}\), to:
\(\displaystyle{ \lambda \left[\begin{array}{cc}a&b \\ b&c\end{array}\right] +
\gamma \left[\begin{array}{cc}d&e \\ e&f\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cc}\gamma a + \lambda d&\gamma b + \lambda e \\ \gamma b + \lambda e&\gamma c + \lambda f\end{array}\right]}\)
czyli kombinacja liniowa też jest macierzą symetryczną.

Z uwagi na to, że:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b \\ b&c\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1&0 \\ 0&0\end{array}\right]+
b\left[\begin{array}{cc}0&1 \\ 1&0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cc}0&0 \\ 0&1\end{array}\right]}\)
bazą tej podprzestrzeni jest na przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0 \\ 0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&1 \\ 1&0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc}0&0 \\ 0&1\end{array}\right]}\)

Analogicznie w drugim przykładzie - jeśli mamy dwie macierzy trójkątne \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b \\ 0&c\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}d&e \\ 0&f\end{array}\right]}\), to:
\(\displaystyle{ \lambda \left[\begin{array}{cc}a&b \\ 0&c\end{array}\right] +
\gamma \left[\begin{array}{cc}d&e \\ 0&f\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cc}\gamma a + \lambda d&\gamma b + \lambda e \\ 0&\gamma c + \lambda f\end{array}\right]}\)
czyli kombinacja liniowa też jest macierzą trójkątną.

Z uwagi na to, że:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b \\ 0&c\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1&0 \\ 0&0\end{array}\right]+
b\left[\begin{array}{cc}0&1 \\ 0&0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cc}0&0 \\ 0&1\end{array}\right]}\)
bazą tej podprzestrzeni jest na przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0 \\ 0&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0&1 \\ 0&0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc}0&0 \\ 0&1\end{array}\right]}\)

Q.

PS.

Matematyka jest jak kobieta- nie trzeba jej rozumieć, tylko umieć wykorzystać.

Słaba maksyma - po pierwsze matematyka tym się różni od kobiet, że matematykę da się zrozumieć, po drugie zaś zarówno matematyka jak i kobiety służą do podziwiania, a nie wykorzystywania ;>.

[trelek2]

No już też znalazłem pdfa z tymi rzeczami to reczywiście. Ale z tego co ja rozumiem to za pomocą kombinacji liniowej macierzy trójkątnych nie da się przedtawić każdej dowolnej macierzy 2x2.
I jest tu też napisany taki theorem że baza dla przstrzeni macierzy o m rzędach i n kolumnach ma wymiar nm.
Czyli dla macierzy 2x2 baza powinna składać się chyba z 4 macierzy i mieć wymiar 4.
Ale to dziwne bo dla tych wymmetrycznych jedyne opcje jakie zostają to macierz I która spwodowałaby że zbiór stanie się liniowo zależny oraz matryca zerowa która dała by podobny efekt...
Możesz mi proszę wyjaśnić bardziej?