wektory liniowo niezależne

[bubaluki]

siema mam takie zadanko w którym są wpisane wektory i mam sprawdzić czy są liniowo niezależne jak to zrobić?

\(\displaystyle{ \left[ 1 ,2 ,-3\right], ft[4 ,-1 ,1 \right] , ft[ 0 , 1 , 1 \right] ,\left[ 2, 2 ,6\right]}\)

[tail]

Wektory są liniowo niezależne, wtedy gdy ich kombinacja liniowa znika tylko dlatego, że elementy z ciała są zerowe, tzn. :

\(\displaystyle{ \alpha_{1}v_{1}\;+\;\alpha_{2}v_{2}\;+\;...\;+\;\alpha_{n}v_{n}\;=\;\Theta}\)

gdzie \(\displaystyle{ \Theta\;=\;[0,0,...,0]}\) to wektor zerowy przestrzeni n - wymiarowej.

\(\displaystyle{ \alpha_{i}\;=\;0}\) dla \(\displaystyle{ i\;=\;1,2,...,n}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \alpha_{1}[1,2,-3]\;+\;\alpha_{2}[4,-1,1]\;+\;\alpha_{3}[0,1,1]\;+\;\alpha_{4}[2,2,6]\;=\;[0,0,0,0]}\)

co jest równoważne:

\(\displaystyle{ \alpha_{1}\;+\;4\alpha_{2}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0}\)

\(\displaystyle{ 2\alpha_{1}\;-\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0}\)

\(\displaystyle{ -3\alpha_{1}\;+\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;6\alpha_{4}\;=\;0}\)

i trzeba to rozwiązać, by sprawdzić czy się \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\) zerują.

[bubaluki]

dzięki za pomoc;)

[janekpogwad]

Odświeżam temat. Ale tutaj mamy układ 3 równań z 4 niewiadomymi. Nie da się policzyć wyznacznika. Jak więc to ugryźć?

[Kacperdev]

Policzyć rząd macierzy i skorzystać z tw. Kroneckera-Capellego.
Tu jednak widać, że ten rząd maksymalnie może być równy \(\displaystyle{ 3}\), więc zawsze przynajmniej jedną zmienną można sparametryzować co rozwiązuje zadanie

Można też skorzystać z wiedzy o bazie przestrzeni liniowej i z miejsca powiedzieć, że te wektory są liniowo zależne (baza składa się z 3 wektorów, a mamy tu cztery - więc jeden na pewno jest zbędny)

[janekpogwad]

Ok, czyli z tw. KC, jeśli mógłbyś mi sprawdzić, bo nie jestem pewny, czy to wszystko dobrze robię.

Troszkę na skróty to napiszę, bo nie jestem biegły w latex-u.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&4&0&2\\
2&-1&1&2\\
-3&1&1&6
\end{bmatrix}|}\)

...i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0. Następnie szukamy największego niezerowego minora. Mamy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&4&0\\
2&-1&1\\
-3&1&1
\end{bmatrix}}\)

W = -22

Wiemy, że nie wiadomych n=4. I teraz rzędy macierzy. R(a)=3 i R(a|b)=3 (b to są zera), więc 3<4, stąd wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czy to już koniec, czy należałoby jeszcze coś dopisać?

[Kacperdev]

...i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0

nie rozumiem tego stwierdzenia.

Dalej w porządku (przy założeniu, że wyznacznik jest dobrze policzony). Można nawet napisać, że układ zależy od jednego parametru, ale co nie zmienia faktu, że istnieje nieskończenie wiele niezerowych \(\displaystyle{ a_{i}}\) rozwiązujących układ. A to kończy zadanie.

[janekpogwad]

Chodziło mi o to, z alfami:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\\\alpha_{4}\\

\end{bmatrix}}\)

I jeszcze wracając do parametru, bo on mi spędza sen z powiek: parametrem będzie \(\displaystyle{ \alpha_{4}}\)?

[Kacperdev]

Tak, może być.