wektory liniowo niezależne
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 19 paź 2008, o 14:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rawa-Mazowiecka
- Podziękował: 1 raz
wektory liniowo niezależne
siema mam takie zadanko w którym są wpisane wektory i mam sprawdzić czy są liniowo niezależne jak to zrobić?
\(\displaystyle{ \left[ 1 ,2 ,-3\right], ft[4 ,-1 ,1 \right] , ft[ 0 , 1 , 1 \right] ,\left[ 2, 2 ,6\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1 ,2 ,-3\right], ft[4 ,-1 ,1 \right] , ft[ 0 , 1 , 1 \right] ,\left[ 2, 2 ,6\right]}\)
Ostatnio zmieniony 25 paź 2008, o 19:13 przez bubaluki, łącznie zmieniany 1 raz.
- tail
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2007, o 16:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 4 razy
wektory liniowo niezależne
Wektory są liniowo niezależne, wtedy gdy ich kombinacja liniowa znika tylko dlatego, że elementy z ciała są zerowe, tzn. :
\(\displaystyle{ \alpha_{1}v_{1}\;+\;\alpha_{2}v_{2}\;+\;...\;+\;\alpha_{n}v_{n}\;=\;\Theta}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Theta\;=\;[0,0,...,0]}\) to wektor zerowy przestrzeni n - wymiarowej.
\(\displaystyle{ \alpha_{i}\;=\;0}\) dla \(\displaystyle{ i\;=\;1,2,...,n}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}[1,2,-3]\;+\;\alpha_{2}[4,-1,1]\;+\;\alpha_{3}[0,1,1]\;+\;\alpha_{4}[2,2,6]\;=\;[0,0,0,0]}\)
co jest równoważne:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}\;+\;4\alpha_{2}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0}\)
\(\displaystyle{ 2\alpha_{1}\;-\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0}\)
\(\displaystyle{ -3\alpha_{1}\;+\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;6\alpha_{4}\;=\;0}\)
i trzeba to rozwiązać, by sprawdzić czy się \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\) zerują.
\(\displaystyle{ \alpha_{1}v_{1}\;+\;\alpha_{2}v_{2}\;+\;...\;+\;\alpha_{n}v_{n}\;=\;\Theta}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Theta\;=\;[0,0,...,0]}\) to wektor zerowy przestrzeni n - wymiarowej.
\(\displaystyle{ \alpha_{i}\;=\;0}\) dla \(\displaystyle{ i\;=\;1,2,...,n}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}[1,2,-3]\;+\;\alpha_{2}[4,-1,1]\;+\;\alpha_{3}[0,1,1]\;+\;\alpha_{4}[2,2,6]\;=\;[0,0,0,0]}\)
co jest równoważne:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}\;+\;4\alpha_{2}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0}\)
\(\displaystyle{ 2\alpha_{1}\;-\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;2\alpha_{4}\;=\;0}\)
\(\displaystyle{ -3\alpha_{1}\;+\;\alpha_{2}\;+\;\alpha_{3}\;+\;6\alpha_{4}\;=\;0}\)
i trzeba to rozwiązać, by sprawdzić czy się \(\displaystyle{ \alpha_{i}}\) zerują.
- janekpogwad
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 20 lut 2010, o 19:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wadowice
- Podziękował: 12 razy
wektory liniowo niezależne
Odświeżam temat. Ale tutaj mamy układ 3 równań z 4 niewiadomymi. Nie da się policzyć wyznacznika. Jak więc to ugryźć?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
wektory liniowo niezależne
Policzyć rząd macierzy i skorzystać z tw. Kroneckera-Capellego.
Tu jednak widać, że ten rząd maksymalnie może być równy \(\displaystyle{ 3}\), więc zawsze przynajmniej jedną zmienną można sparametryzować co rozwiązuje zadanie
Można też skorzystać z wiedzy o bazie przestrzeni liniowej i z miejsca powiedzieć, że te wektory są liniowo zależne (baza składa się z 3 wektorów, a mamy tu cztery - więc jeden na pewno jest zbędny)
Tu jednak widać, że ten rząd maksymalnie może być równy \(\displaystyle{ 3}\), więc zawsze przynajmniej jedną zmienną można sparametryzować co rozwiązuje zadanie
Można też skorzystać z wiedzy o bazie przestrzeni liniowej i z miejsca powiedzieć, że te wektory są liniowo zależne (baza składa się z 3 wektorów, a mamy tu cztery - więc jeden na pewno jest zbędny)
- janekpogwad
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 20 lut 2010, o 19:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wadowice
- Podziękował: 12 razy
wektory liniowo niezależne
Ok, czyli z tw. KC, jeśli mógłbyś mi sprawdzić, bo nie jestem pewny, czy to wszystko dobrze robię.
Troszkę na skróty to napiszę, bo nie jestem biegły w latex-u.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&4&0&2\\
2&-1&1&2\\
-3&1&1&6
\end{bmatrix}|}\)
...i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0. Następnie szukamy największego niezerowego minora. Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&4&0\\
2&-1&1\\
-3&1&1
\end{bmatrix}}\)
W = -22
Wiemy, że nie wiadomych n=4. I teraz rzędy macierzy. R(a)=3 i R(a|b)=3 (b to są zera), więc 3<4, stąd wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czy to już koniec, czy należałoby jeszcze coś dopisać?
Troszkę na skróty to napiszę, bo nie jestem biegły w latex-u.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&4&0&2\\
2&-1&1&2\\
-3&1&1&6
\end{bmatrix}|}\)
...i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0. Następnie szukamy największego niezerowego minora. Mamy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&4&0\\
2&-1&1\\
-3&1&1
\end{bmatrix}}\)
W = -22
Wiemy, że nie wiadomych n=4. I teraz rzędy macierzy. R(a)=3 i R(a|b)=3 (b to są zera), więc 3<4, stąd wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Czy to już koniec, czy należałoby jeszcze coś dopisać?
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
wektory liniowo niezależne
nie rozumiem tego stwierdzenia....i to oczywiście mnożymy razy wektor alfa1..4 i otrzymujemy 0
Dalej w porządku (przy założeniu, że wyznacznik jest dobrze policzony). Można nawet napisać, że układ zależy od jednego parametru, ale co nie zmienia faktu, że istnieje nieskończenie wiele niezerowych \(\displaystyle{ a_{i}}\) rozwiązujących układ. A to kończy zadanie.
- janekpogwad
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 20 lut 2010, o 19:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wadowice
- Podziękował: 12 razy
wektory liniowo niezależne
Chodziło mi o to, z alfami:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\\\alpha_{4}\\
\end{bmatrix}}\)
I jeszcze wracając do parametru, bo on mi spędza sen z powiek: parametrem będzie \(\displaystyle{ \alpha_{4}}\)?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
\alpha_{1}\\\alpha_{2}\\\alpha_{3}\\\alpha_{4}\\
\end{bmatrix}}\)
I jeszcze wracając do parametru, bo on mi spędza sen z powiek: parametrem będzie \(\displaystyle{ \alpha_{4}}\)?