Macierz przekątniowa i dwa dowody

[Viator]

Witam,
Robiąc algebrę trafiłem na jedno zadanie, na które po prostu nie mam pomysłu. Zakorkowałem się tydzień temu i nie mogę ruszyć w żadną stronę. Pomocne będą chociażby porady jak to zadanie zrobić, a pełne rozwiązanie to będzie już ideał.

Niech \(\displaystyle{ A \in R^{MxN}}\) i \(\displaystyle{ p \in R}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ pA = diag(p,...,p)A}\) i korzystając z twierdzenia Cauchy'ego udowodnić, że \(\displaystyle{ det(pA) = p^n det(A)}\).
Uwaga: Napis \(\displaystyle{ diag(d_1, d_2,...,d_n)}\) oznacza macierz przekątniową stopnia n z elementami \(\displaystyle{ d_1,...,d_n}\) na głównej przekątnej.

[N4RQ5]

można powiedzieć że \(\displaystyle{ A=IA}\) a \(\displaystyle{ pI=diag(p,...,p)}\) co powinno wystarczyć za dowód części pierwszej.
Stąd z twierdzenie Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ det(pA)=det(pIA)=det(diag(p,...,p)A)=det(diag(p,...,p))det(A)=p^ndet(a)}\)