równanie dwusiecznych i prostej

[pat_asdf_pat]

1) wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P=(1,3) i tworzy kąt 120 z dodatnią częścią osi OX
2) Znaleźć równania dwusiecznych kątów wyznaczonych przez proste o równaniach
3x+4y-2=0 , 4x-3y+5=0

[outsider707]

1. Wiemy, że: \(\displaystyle{ y = ax +b}\) oraz \(\displaystyle{ \tg\alpha = a}\), (współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi OX).

Więc:
\(\displaystyle{ \tg 120^\circ = - \sqrt{3} \Rightarrow y = - \sqrt{3} + b}\)

\(\displaystyle{ P=(1,3) \in y \Rightarrow 3=- \sqrt{3} \cdot 1 + b \Rightarrow b= 3+ \sqrt{3}.}\) Więc nasza prosta ma równanie: \(\displaystyle{ y=- \sqrt{3}x + 3+ \sqrt{3}}\).

2.
Z definicji dwusiecznej mamy :

\(\displaystyle{ \frac{ \left| 3x+4y-2\right| }{ \sqrt{9+16} } = \frac{ \left| 4x-3y+5\right| }{ \sqrt{16+9} } \Rightarrow
\begin{cases} 3x+4y-2=4x-3y+5 \\ 3x+4y-2=-4x+3x-5 \end{cases} \Rightarrow }\)
Z powyższej równości otrzymujemy równania dwóch dwusiecznych:

\(\displaystyle{ x-7y+7=0 \wedge 7x+y+3=0}\).