Udowodnij podana nierownosc

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ehrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 maja 2008, o 13:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn

Udowodnij podana nierownosc

Post autor: ehrid »

Wykaz ze dla \(\displaystyle{ n \geqslant 6}\) prawdziwa jest nierownosc:

\(\displaystyle{ n! < \left(\frac{n}{2}\right)^n}\)
Ostatnio zmieniony 18 paź 2008, o 08:41 przez ehrid, łącznie zmieniany 3 razy.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

Udowodnij podana nierownosc

Post autor: robin5hood »

n=6 jest prawdda
zał \(\displaystyle{ m\in\mathbb{N}_+\wedge m\geqslant 6}\) :
\(\displaystyle{ m!<\left(\frac{m}{2}\right)^m}\)
zatem

\(\displaystyle{ (m+1)!=m!(m+1)<\left(\frac{m}{2}\right)^m(m+1)=}\)

\(\displaystyle{ =\left(\frac{m+1}{2}\frac{m}{m+1}\right)^m\cdot \left(\frac{m+1}{2}\right)\cdot 2=}\)

\(\displaystyle{ =\left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}\frac{2}{(1+\frac{1}{m})^m}\leqslant \left(\frac{m+1}{2}\right)^{m+1}}\)
ODPOWIEDZ